Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(raizy^2+z^2, raizx^2+z^2, raizx^2+y^2)
e seja S=(x, y, z) in R^3: z(x^2+y^2)=1,1 <= z <= 4.
Calcule integral duplaS F cdot n d S.
Escolha uma opção:
  • -23 pi
    circ 0
  • -712 pi
  • 23 pi
  • 712 pi

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um campo vetorial F(x, y, z)=(raizy^2+z^2, raizx^2+z^2, raizx^2+y^2) e uma superfície S definida por z(x^2+y^2)=1 com 1 <= z <= 4. O que a gente precisa fazer é calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície S. A equação z(x^2+y^2)=1 pode ser rearranjada para x^2+y^2 = 1z. Isso representa uma família de círculos no plano xy para cada valor de z. Como z varia de 1 a 4, a superfície S é um tipo de cilindro variável com z.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde n é o vetor normal unitário à superfície, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume.
O teorema da divergência diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde V é o volume limitado pela superfície S.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde Fx = raizy^2+z^2, Fy = raizx^2+z^2, e Fz = raizx^2+y^2.

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Fxpartial x = partialpartial x raizy^2+z^2 = 0, pois Fx não depende de x.
  2. partial Fypartial y = partialpartial y raizx^2+z^2 = 0, pois Fy não depende de y.
  3. partial Fzpartial z = partialpartial z raizx^2+y^2 = 0, pois Fz não depende de z.
Então, a divergência é:
nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 6

Com a divergência sendo zero, pela fórmula do teorema da divergência, temos:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV 0 , dV = 0

Resposta

A integral de superfície é igual a 0.

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