Considere o campo vetorial
e seja
.
Calcule
.
Escolha uma opção:
-
-
-
-
e seja
Calcule
Escolha uma opção:
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um campo vetorial
e uma superfície
definida por
com
. O que a gente precisa fazer é calcular a integral de superfície
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície
. A equação
pode ser rearranjada para
. Isso representa uma família de círculos no plano
para cada valor de
. Como
varia de 1 a 4, a superfície
é um tipo de cilindro variável com
.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície
, onde
é o vetor normal unitário à superfície, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume.
O teorema da divergência diz que:
Onde
é o volume limitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
,
, e
.
Passo 5
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
, pois não depende de . -
, pois não depende de . -
, pois não depende de .
Então, a divergência é:
Passo 6
Com a divergência sendo zero, pela fórmula do teorema da divergência, temos:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.