Seja
a superfície de equação paramétrica
. Determine a equação do plano tangente a
no ponto
.
Escolha uma opção:
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○
○
Escolha uma opção:
○
○
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a equação do plano tangente à superfície $ S $ definida por $ \mathbf{r}(u, v) = (u, v, u^{2} + v^{2}) $ no ponto $ P_{0} = \mathbf{r}(2,0) $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetores normais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função paramétrica, encontrar o vetor normal ao plano tangente e, por fim, montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, identificamos as coordenadas do ponto $ P_{0} $. Como $ P_{0} = \mathbf{r}(2,0) $, substituímos $ u = 2 $ e $ v = 0 $ na equação paramétrica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função $ \mathbf{r}(u, v) $ em relação a $ u $ e $ v $:
No ponto $ P_{0} = (2, 0, 4) $, substituímos $ u = 2 $ e $ v = 0 $:
Passo 4
Para encontrar o vetor normal ao plano tangente, calculamos o produto vetorial das derivadas parciais $ \mathbf{r}_u $ e $ \mathbf{r}_v $:
Calculando o determinante:
Passo 5
Com o vetor normal $ \mathbf{n} = (-4, 0, 1) $ e o ponto $ P_{0} = (2, 0, 4) $, podemos usar a forma geral da equação do plano:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é $ -4 x + z + 4 = 0 $.