Seja S a superfície de equação paramétrica r(u, v)=(u, v, u^2+v^2). Determine a equação do plano tangente a S no ponto P0=r(2,0).
Escolha uma opção:
-4 x+z+2=0
  • -4 x+z+4=0
  • -2 x+z+2=0
    4 x-z+4=0
    2 x+z-4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a equação do plano tangente à superfície $ S $ definida por $ \mathbf{r}(u, v) = (u, v, u^{2} + v^{2}) $ no ponto $ P_{0} = \mathbf{r}(2,0) $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetores normais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função paramétrica, encontrar o vetor normal ao plano tangente e, por fim, montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, identificamos as coordenadas do ponto $ P_{0} $. Como $ P_{0} = \mathbf{r}(2,0) $, substituímos $ u = 2 $ e $ v = 0 $ na equação paramétrica:
P0

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função $ \mathbf{r}(u, v) $ em relação a $ u $ e $ v $:
r(u, v)
u
No ponto $ P_{0} = (2, 0, 4) $, substituímos $ u = 2 $ e $ v = 0 $:
v
ru = partial rpartial u = (1, 0, 2u)

Passo 4

Para encontrar o vetor normal ao plano tangente, calculamos o produto vetorial das derivadas parciais $ \mathbf{r}_u $ e $ \mathbf{r}_v $:
ru
Calculando o determinante:
rv

Passo 5

Com o vetor normal $ \mathbf{n} = (-4, 0, 1) $ e o ponto $ P_{0} = (2, 0, 4) $, podemos usar a forma geral da equação do plano:
n = (-4, 0, 1)
Substituindo:
P0 = (2, 0, 4)
Simplificando:
nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0

Resposta

A equação do plano tangente é $ -4 x + z + 4 = 0 $.

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