Seja
e seja
a curva interseção do cilíndro
com o plano
percorrida de maneira tal que sua projeção no plano
rode em sentido horário. Calcule
Escolha uma opção:
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Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma curva
que é a interseção de um cilindro
com o plano
. A ideia é calcular a integral de linha
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e, possivelmente, o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é onde o cilindro
corta o plano
. Então,
é um círculo de raio 1, no plano
. Como a projeção no plano
é percorrida no sentido horário, isso vai influenciar a orientação que vamos considerar.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o campo vetorial
:
Vamos precisar calcular a integral de linha desse campo vetorial ao longo da curva
.
Passo 4
Para facilitar, vamos verificar se podemos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por essa curva. Ou seja:
Onde
é uma superfície que tem
como fronteira e
é o vetor normal à superfície.
Passo 5
Vamos calcular o rotacional de
,
:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Observamos que os termos ficam complicados, então vamos pensar em simplificar usando simetria ou outra abordagem.
Passo 6
Outra abordagem é parametrizar a curva
diretamente. Como
é um círculo de raio 1 no plano
, podemos parametrizar assim:
A orientação é horário, então na verdade precisamos inverter o sinal de
:
Entretanto, como estamos lidando com integral, podemos ajustar os limites.
Passo 7
Vamos calcular
:
Agora, vamos substituir
e
na integral:
Mas, isso pode ser trabalhoso, então vamos tentar simplificar observando que algumas componentes podem se anular.
Passo 8
Vamos calcular
:
Simplificando:
Agora, fazendo o produto com
:
Simplificando:
Integrar isso de 0 a
pode ser complicado, então vamos ver se há termos que se cancelam ou simplificam.
Passo 9
Observamos que as integrais de funções ímpares sobre o intervalo
se anulam. Além disso:
Os termos com
e
integrados sobre um ciclo completo também se anulam devido à periodicidade e simetria das funções seno. Então, a integral total é apenas 12π.
Resposta
A resposta correta é
.