Seja F(x, y, z)=(sin (x^2+z)-2 y z) i+(2 x z+sin (y^2+z)) j+sin (x^2+y^2) k e seja gamma a curva interseção do cilíndro x^2+y^2=1 com o plano z=3 percorrida de maneira tal que sua projeção no plano x y rode em sentido horário. Calcule integralgamma F cdot d r
Escolha uma opção:
  • -12 pi
  • 16 pi
  • -16 pi
  • 12 pi
    circ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) e uma curva gamma que é a interseção de um cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=3. A ideia é calcular a integral de linha integralgamma F cdot d r. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e, possivelmente, o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva gamma. Ela é onde o cilindro x^2+y^2=1 corta o plano z=3. Então, gamma é um círculo de raio 1, no plano z=3. Como a projeção no plano xy é percorrida no sentido horário, isso vai influenciar a orientação que vamos considerar.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o campo vetorial F(x, y, z):
F(x, y, z) = (sin (x^2+z)-2 y z) i + (2 x z + sin (y^2+z)) j + sin (x^2+y^2) k
Vamos precisar calcular a integral de linha desse campo vetorial ao longo da curva gamma.

Passo 4

Para facilitar, vamos verificar se podemos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por essa curva. Ou seja:
integralgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde S é uma superfície que tem gamma como fronteira e n é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Vamos calcular o rotacional de F, nabla times F:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • partial Fzpartial y = partialpartial y sin(x^2+y^2) = 2y cos(x^2+y^2)
  • partial Fypartial z = partialpartial z (2xz + sin(y^2+z)) = 2x + cos(y^2+z)
  • partial Fxpartial z = partialpartial z (sin(x^2+z) - 2yz) = cos(x^2+z) - 2y
  • partial Fzpartial x = partialpartial x sin(x^2+y^2) = 2x cos(x^2+y^2)
  • partial Fypartial x = partialpartial x (2xz + sin(y^2+z)) = 2z
  • partial Fxpartial y = partialpartial y (sin(x^2+z) - 2yz) = -2z
Então,
nabla times F = (2y cos(x^2+y^2) - (2x + cos(y^2+z))) i + (cos(x^2+z) - 2y - 2x cos(x^2+y^2)) j + (2z - (-2z)) k = ldots
Observamos que os termos ficam complicados, então vamos pensar em simplificar usando simetria ou outra abordagem.

Passo 6

Outra abordagem é parametrizar a curva gamma diretamente. Como gamma é um círculo de raio 1 no plano z=3, podemos parametrizar assim:
r(t) = (cos t) i + (sin t) j + 3 k, t in [0, 2pi]
A orientação é horário, então na verdade precisamos inverter o sinal de t:
r(t) = (cos t) i + (sin t) j + 3 k, t in [0, -2pi]
Entretanto, como estamos lidando com integral, podemos ajustar os limites.

Passo 7

Vamos calcular dr:
dr = drdt dt = (-sin t) i + (cos t) j , dt
Agora, vamos substituir F(r(t)) e dr na integral:
integralgamma F cdot dr = integral0^2pi F(r(t)) cdot drdt dt
Mas, isso pode ser trabalhoso, então vamos tentar simplificar observando que algumas componentes podem se anular.

Passo 8

Vamos calcular F(r(t)):
F(cos t, sin t, 3) = (sin (cos^2 t + 3) - 2 sin t cdot 3) i + (2 cos t cdot 3 + sin (sin^2 t + 3)) j + sin (cos^2 t + sin^2 t) k
Simplificando:
F = (sin(cos^2 t + 3) - 6 sin t) i + (6 cos t + sin(sin^2 t + 3)) j + sin(1) k
Agora, fazendo o produto com dr:
F cdot dr = (sin(cos^2 t + 3) - 6 sin t)(-sin t) + (6 cos t + sin(sin^2 t + 3))(cos t) + 0
Simplificando:
F cdot dr = -sin(cos^2 t + 3) sin t + 6 sin^2 t + 6 cos^2 t + sin(sin^2 t + 3) cos t
Integrar isso de 0 a 2pi pode ser complicado, então vamos ver se há termos que se cancelam ou simplificam.

Passo 9

Observamos que as integrais de funções ímpares sobre o intervalo [0, 2pi] se anulam. Além disso:
integral0^2pi 6 sin^2 t + 6 cos^2 t , dt = 6 integral0^2pi (sin^2 t + cos^2 t) dt = 6 integral0^2pi 1 , dt = 12pi
Os termos com sin(cos^2 t + 3) e sin(sin^2 t + 3) integrados sobre um ciclo completo também se anulam devido à periodicidade e simetria das funções seno. Então, a integral total é apenas 12π.

Resposta

A resposta correta é 12 pi.

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