Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y)=(y, x)
Calcule a integral de linha
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde C é o segmento de reta que liga os pontos (0,0) e (1,2).
Utilize a parametrização da curva e a definição de integral de linha.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}
onde foi dado o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=(y,x)
e C é o segmento de reta que liga os pontos (0,0) e (1,2).
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo vetorial: \vec{F}(x,y)=(y,x).
  • A curva C é o segmento de reta com extremidades (0,0) e (1,2).
  • Foi pedido para utilizar a parametrização da curva e a definição de integral de linha.

Passo 2

Vamos parametrizar o segmento de reta C. Uma parametrização natural para um segmento entre (0,0) e (1,2) é uma combinação linear que varia um parâmetro t de 0 a 1. Definimos
\vec{r}(t)=(x(t),y(t))=(t,2t),\qquad 0\le t\le1.
Verificação rápida: \vec{r}(0)=(0,0) e \vec{r}(1)=(1,2), então essa parametrização realmente percorre o segmento pedido.

Passo 3

Calcule a derivada da parametrização, que representa o vetor tangente/velocidade:
\vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,2).
Aqui x'(t) e y'(t) são as derivadas das componentes de \vec{r} com respeito a t.

Passo 4

Pela definição da integral de linha para um campo vetorial, se \vec{r}(t) parametriza C para t\in[a,b], então
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt.
Nesta fórmula:
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) significa substituir x=x(t) e y=y(t) em \vec{F}.
  • O símbolo `` \cdot’’ é o produto escalar (dot product) entre vetores: para vetores (a,b) e (c,d) vale (a,b)\cdot(c,d)=ac+bd.

Passo 5

Substituímos a parametrização na função \vec{F}. Como \vec{F}(x,y)=(y,x), temos
\vec{F}(\vec{r}(t))=(y(t),x(t))=(2t,t).

Passo 6

Agora calculamos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t). Usando a regra (a,b)\cdot(c,d)=ac+bd,
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=(2t,t)\cdot(1,2)=2t\cdot1 + t\cdot2 = 2t+2t=4t.

Passo 7

Substituímos na integral de linha usando os limites de t de 0 a 1:
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1} 4t\,dt.

Passo 8

Calculamos a integral ordinária:
\int_{0}^{1} 4t\,dt = \left[2t^{2}\right]_{0}^{1}=2\cdot1^{2}-2\cdot0^{2}=2.

Resposta

2

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