Considere o campo vetorial
Calcule a integral de linha
onde
é o segmento de reta que liga os pontos
e
.
Utilize a parametrização da curva e a definição de integral de linha.
Utilize a parametrização da curva e a definição de integral de linha.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde foi dado o campo vetorial
e
é o segmento de reta que liga os pontos
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O campo vetorial:
. - A curva
é o segmento de reta com extremidades e . - Foi pedido para utilizar a parametrização da curva e a definição de integral de linha.
Passo 2
Vamos parametrizar o segmento de reta
. Uma parametrização natural para um segmento entre
e
é uma combinação linear que varia um parâmetro
de
a
. Definimos
Verificação rápida:
e
, então essa parametrização realmente percorre o segmento pedido.
Passo 3
Calcule a derivada da parametrização, que representa o vetor tangente/velocidade:
Aqui
e
são as derivadas das componentes de
com respeito a
.
Passo 4
Pela definição da integral de linha para um campo vetorial, se
parametriza
para
, então
Nesta fórmula:
-
significa substituir e em . - O símbolo ``
’’ é o produto escalar (dot product) entre vetores: para vetores e vale .
Passo 5
Substituímos a parametrização na função
. Como
, temos
Passo 6
Agora calculamos o produto escalar
. Usando a regra
,
Passo 7
Substituímos na integral de linha usando os limites de
de
a
:
Passo 8
Calculamos a integral ordinária: