Considere os campos vetoriais seguintes
  • \vec{F}=(x, 0,0),
  • Calcule o fluxo de \vec{F} através de um quadrado de lado a, no plano y z localizado em x=0 e em x=1.
  • Qual seria o valor do fluxo através de um quadrado no plano x z ?
  • Calcule a divergencia no ponto (0,0,0) e (1,1,1). O valor da divergencia depende do ponto?
  • Consedere o campo electico \vec{E}=\frac{E_{0}}{d}(x, 0,0). O que pode se dizer do meio, ele é neutro eletricamente ou carregado?

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec F(x,y,z)=(x,0,0)
e pede:
  1. O fluxo de \vec F através de um quadrado de lado a no plano yz em x=0 e em x=1.
  2. O fluxo através de um quadrado no plano xz.
  3. A divergência de \vec F em (0,0,0) e em (1,1,1), e se ela depende do ponto.
  4. Para o campo elétrico \vec E=(E_{0}/d)(x,0,0), inferir se o meio é neutro ou carregado.

Passo 2

Fluxo através do quadrado em x=c (plano yz):
Parametrização
\mathbf{r}(y,z)=(c,y,z), \quad y\in[0,a],\;z\in[0,a].
Um normal unitário em direção positiva de x é \hat n=(1,0,0).
Em cada ponto da superfície \vec F=(c,0,0), logo
\Phi\text{(c)} =\iint_S\vec F\cdot\hat n\,dS =\iint_{0}^{a}\!\!\!\int_{0}^{a}c\,dy\,dz =c\,a^2.
Portanto \Phi(0)=0
e \Phi(1)=1\cdot a^2=a^2.

Passo 3

Fluxo através de um quadrado no plano xz (digamos em y=c):
O normal é \hat n=(0,1,0) e \vec F=(x,0,0).
Então
\vec F\cdot\hat n=0
em toda a superfície, implicando \Phi_{xz}=0.

Passo 4

Divergência de \vec F:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x) +\frac{\partial}{\partial y}(0) +\frac{\partial}{\partial z}(0) =1.
Logo em (0,0,0) e em (1,1,1) vale sempre 1; não depende do ponto.

Passo 5

Para \vec E=(E_0/d)(x,0,0) temos
\nabla\cdot\vec E =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{E_0}{d}\,x\Bigr) =\frac{E_0}{d}\neq0.
Pela Lei de Gauss local \nabla\cdot\vec E=\rho/\varepsilon_0, resulta
\rho=\varepsilon_0\,\frac{E_0}{d}>0.
Logo o meio tem carga volumétrica uniforme e não é neutro.

Resposta

  • Fluxo em x=0: 0.
  • Fluxo em x=1: a^2.
  • Fluxo no plano xz: 0.
  • Divergência em (0,0,0) e em (1,1,1): 1; não varia com o ponto.
  • O meio, sob \vec E=(E_0/d)(x,0,0), tem densidade de carga \rho=\varepsilon_0E_0/d\neq0; está carregado uniformemente.

Exercícios relacionados