1. O campo \vec{F}=(x, y, 0).
  • Calcule o fluxo através de um círculo de raio R no plano x y.

Passo 1

O campo é \vec{F}=(x,y,0)
e queremos o fluxo de \vec{F} através do disco S de raio R no plano xy.
Isso significa calcular a integral de superfície
\Phi=\iint_{S}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o versor normal ao plano xy (escolhendo a orientação para cima, \mathbf{n}=(0,0,1)).

Passo 2

No plano xy temos z=0, logo o vetor normal unitário para cima é
\mathbf{n}=(0,0,1),
e o elemento de área é
dS=dA,
com dA a área no próprio plano xy.

Passo 3

O produto escalar do campo com o normal é
\vec{F}\cdot\mathbf{n}=(x,y,0)\cdot(0,0,1)=0.
Como o integrando é zero em todo o disco, a integral também será zero:
\Phi=\iint_{S}0\,dA=0.

Resposta

O fluxo de \vec{F}=(x,y,0) através do círculo de raio R no plano xy é 0.

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