Considere os campos vetoriais seguintes
  • \vec{F}=(-y, x, 0).
  • Desenhe o campo
  • Calcule a divergencia
  • Consedere o campo electico \vec{E}=\frac{E_{0}}{d}(-y, x, 0). O que pode se dizer do meio, ele é neutro eletricamente ou carregado?
  • O campo \vec{B}=\frac{B_{0}}{d}(-y, x, 0) pode representar um campo magnetico real?

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec F(x,y,z)=(-y,\;x,\;0)
e pede:
• Desenhar qualitativamente esse campo no plano xy.
• Calcular \nabla\cdot\vec F.
• Para o campo elétrico
\vec E(x,y,z)=\frac{E_{0}}{d}(-y,\;x,\;0)
verificar se há carga no meio (pela lei de Gauss).
• Para o campo
\vec B(x,y,z)=\frac{B_{0}}{d}(-y,\;x,\;0)
verificar se pode representar um campo magnético real, isto é, se satisfaz as equações de Maxwell (principalmente Ampère–Maxwell).

Passo 2

Qualitativamente, em cada ponto (x,y) o vetor \vec F é
\vec F=(-y,\;x)
que é a rotação do vetor posição (x,y) em 90^\circ. Logo, as linhas de campo são círculos centrados na origem, com sentido anti-horário. A intensidade cresce linearmente com a distância ao centro.

Passo 3

Calculamos a divergência:
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(-y) \;+\;\frac{\partial}{\partial y}(x)\;+\;\frac{\partial}{\partial z}(0) =0+0+0=0.

Passo 4

Para \vec E=\tfrac{E_{0}}{d}\vec F vale
\nabla\cdot\vec E = \frac{E_{0}}{d}\,\nabla\cdot\vec F = 0.
Pela lei de Gauss \nabla\cdot\vec E = \rho/\varepsilon_{0}, segue \rho=0. Portanto o meio é eletricamente neutro.

Passo 5

Para \vec B=\tfrac{B_{0}}{d}\vec F temos também \nabla\cdot\vec B=0, o que bate com \nabla\cdot\vec B=0 de Maxwell. Porém
\nabla\times\vec B =\frac{B_{0}}{d}\,\nabla\times(-y,\;x,\;0) =\frac{B_{0}}{d}(0,0,2) \neq \vec0.
Pela lei de Ampère-Maxwell (em regime estático)
\nabla\times\vec B = \mu_{0}\,\vec J,
então há uma densidade de corrente
\vec J = \frac{2B_{0}}{\mu_{0}\,d}\,\hat k.
Esse campo \vec B é real desde que exista essa corrente distribuída em volume.

Resposta

Divergência de \vec F: 0.
O meio sob \vec E é eletricamente neutro \rho=0. \vec B pode existir fisicamente, mas requer uma densidade de corrente \displaystyle \vec J = \frac{2B_{0}}{\mu_{0}d}\,\hat k.

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