5- *Considere um capacitor esférico que consiste de duas cascas esféricas concêntricas. A casca esférica menor tem raio a e está carregada com uma garga total +q, e a maior tem raio b está carregada com uma carga total -q.
a. Encontre a expressão para a intensidade do campo elétrico a uma distância r do centro para a<r<b;
b. Calcule a diferença de potencial no capacitor e obtenha a expressăo para a capacitância do capacitor;
c. Com base no resultado do item anterior, obtenha a capacitância de uma única esfera condutora isolada de raio R.

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras concêntricas: a interna de raio a com carga total +q e a externa de raio b com carga total -q. Precisamos usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico entre as cascas, depois relacionar campo e potencial para achar a diferença de potencial De<a V, e então definir a capacitância C=q/De<a V. Por fim, extraímos o caso limite de uma esfera isolada fazendo btoinfty.

Passo 2

Para ,a<r<b, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. A Lei de Gauss diz que
oint Ecdot dA = qintvarepsilon0
Aqui qint=+q e E é radial, constante sobre a esfera. Logo
E(r),4pi r^2 = qvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,qr^2,
com direção radial para fora.

Passo 3

A diferença de potencial entre as cascas é
De<a V = V(a)-V(b) = -integrala^b Ecdot dr = -integrala^b !E(r),dr
Substituindo E(r):
De<a V = -integrala^bq4pivarepsilon0,r^2,dr = q4pivarepsilon0l(1a-1br)

Passo 4

Pela definição de capacitância,
C = qDe<a V = q q4pivarepsilon0l(1a-1br) = 4pivarepsilon0,ab,b-a,

Passo 5

Para obter a capacitância de uma esfera isolada de raio R, fazemos btoinfty e a=R. Como 1/bto0,
Cisolada = limbtoinfty4pivarepsilon0,Rbb-R =4pivarepsilon0,R

Resposta

a. Para a<r<b:
E(r)=14pivarepsilon0,qr^2
b.
De<a V = q4pivarepsilon0l(1a-1br), C = 4pivarepsilon0,abb-a
c. Para uma esfera isolada de raio R:
C = 4pivarepsilon0,R

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