4- *Seja uma distribuiçăo continua de carga q, positiva, distribuida uniformemente em um disco muito Tino de raio R :
a. Obtenha o potencial elétrico em um ponto a uma distäncia z ao longo do eixo central do disco.
b. A partir do resultado obtido para o potencial elétrico, encontre o campo elétrico em funçālo da distância z.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(z) em um ponto do eixo central de um disco de raio R que carrega carga total q uniformemente distribuída, e depois o campo elétrico Ez(z) obtido a partir de V(z). O conteúdo é eletrostática de distribuições contínuas: vamos usar superposição, dividir o disco em anéis elementares e integrar, depois aplicar Ez=-dfracdVdz.

Passo 2

Definimos a densidade superficial de carga
sigma = qpi R^2
Escolhemos um anel de raio r e largura dr; sua carga é
dq = sigma,2pi r,dr
O potencial devido a esse anel, a uma distância z no eixo, vale
dV = k,dqraizr^2+z^2 = k,sigma,2pi r,drraizr^2+z^2,
onde k = dfrac14pivarepsilon0. Para obter V(z) integramos r de 0 a R.

Passo 3

Calculamos a integral
V(z) = k,sigma,2pi integral0^Rr,drraizr^2+z^2 = k,sigma,2pil[raizr^2+z^2r]0^R = k,sigma,2pil(raizR^2+z^2-zr)
Substituindo k e sigma, fica
V(z) = 14pivarepsilon0,qpi R^2,2pil(raizR^2+z^2-zr) = q2pivarepsilon0R^2,l(raizR^2+z^2-zr)

Passo 4

Para achar o campo no eixo, usamos
Ez(z) = -dVdz
Derivando
dVdz = q2pivarepsilon0R^2l(zraizR^2+z^2-1r)
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Ez(z) = -dVdz = q2pivarepsilon0R^2l(1-zraizR^2+z^2r)
Esse campo aponta ao longo do eixo, afastando-se do disco se q>0.

Resposta

V(z) = q2pivarepsilon0R^2,l(raizR^2+z^2-zr)
Ez(z) = q2pivarepsilon0R^2l(1-zraizR^2+z^2r),
dirigido ao longo do eixo, para fora do disco quando q>0.

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