Considere uma carga
de valor
, orbitando uma carga
de massa maior e supostamente estacionária, de valor
. A carga
, de massa
, executa movimento circular com centro em
e raio
. Desprezando as ações gravitacionais, determine a velocidade de
.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que está sendo pedido: temos duas cargas elétricas, α e β. A carga α tem valor +2q e está parada, enquanto a carga β tem valor -q, massa m, e está girando em torno de α em um caminho circular de raio r. A gente quer descobrir quão rápido a carga β está se movendo, ou seja, qual é a sua velocidade.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força eletrostática (a força entre cargas elétricas) e movimento circular (como objetos se movem em círculos). Vamos precisar aplicar a fórmula da força elétrica de Coulomb e relacionar com a força centrípeta que mantém a carga β em movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos dá a força entre duas cargas elétricas. A fórmula é:
Aqui, $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $), $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas elétricas, e $ r $ é a distância entre elas.
No nosso caso, $ q_1 = +2q $ e $ q_2 = -q $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos pensar no movimento circular da carga β. Para que a carga β se mantenha em uma trajetória circular, ela precisa de uma força centrípeta que a puxe para o centro do círculo. A fórmula da força centrípeta é:
Onde:
- $ m $ é a massa da carga β,
- $ v $ é a velocidade que queremos encontrar,
- $ r $ é o raio da trajetória.
Passo 4
Como a única força atuando na carga β é a força eletrostática, a força centrípeta deve ser igual à força eletrostática para manter o movimento circular. Então, podemos igualar as duas expressões:
Substituindo as fórmulas que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para resolver $ v $. Primeiro, podemos multiplicar ambos os lados por $ r $ para eliminar um $ r $ do denominador:
Agora, isolamos $ v^2 $:
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ v $:
Resposta
A velocidade da carga β é dada por: