Considere uma carga puntiforme
localizada na origem
. O campo elétrico é
Seja
a superfície esférica de raio
centrada na origem. Calcule o fluxo elétrico
avaliando explicitamente a integral dupla sobre o elemento de área
.
Dica: parametrizar a superfície por coordenadas esféricas
e lembrar que, na esfera de raio
,
Note que neste problema existe um produto escalar entre o campo E e o elemento de área
.
Dica: parametrizar a superfície por coordenadas esféricas
Passo 1
O enunciado dá uma carga puntiforme
localizada na origem
. O campo elétrico é
A superfície
é a esfera de raio
centrada na origem. Pede-se o fluxo
avaliando explicitamente a integral dupla usando a parametrização esférica com
,
. Foi dada a fórmula do elemento de área na esfera:
Informações relevantes listadas:
-
está radial (proporcional a ). - Na superfície
temos constante. - O produto escalar
precisa ser avaliado explicitamente antes de integrar.
Passo 2
Entendendo os vetores e o produto escalar:
é o vetor unitário radial, apontando para fora da esfera. O elemento de área
está orientado para fora e, pela dada expressão, também é paralelo a
. Para dois vetores paralelos, o produto escalar vale o produto dos módulos, isto é, para vetores
e
com mesma direção,
No nosso caso,
e
têm a mesma direção
, então o produto escalar simplifica bastante. Também observe que, sobre a esfera, podemos substituir
em
.
Passo 3
Substituímos
em
e usamos a expressão de
. Em forma exibida:
Agora o produto escalar fica
Expliquei acima que
. Simplificando os fatores
que se cancelam, obtemos
Passo 4
Montamos a integral dupla do fluxo, com os limites padrão da esfera em coordenadas esféricas:
Aqui
é constante e pode sair da integração.
Passo 5
Calculo da integral em
. A primitiva de
é
. Portanto
Expliquei cada passo: usei a antiderivada e avaliei nos limites
e
.
Passo 6
Calculo da integral em
. Temos
Multiplicando tudo:
Simplificando os fatores numéricos,
Passo 7
Comentário didático curto (checagem): o resultado não depende do raio
, como você pode ver pelos cancelamentos. Isso faz sentido fisicamente e coincide com a Lei de Gauss, que afirma que o fluxo sobre uma superfície fechada que envolve a carga
é
. Se quisesse resolver a mesma integral para uma superfície não centrada ou não esférica, a integral seria mais trabalhosa; aqui a simetria radial facilita muito porque
é sempre paralelo a
.