Considere um campo elétrico cuja magnitude na superfície z=0 (plano x y ) é dada por
E(x, y)=\frac{k}{1+x^{2}+y^{2}}
com k>0 constante. Suponha que, para efeitos desta questão, o fluxo elétrico através de uma região plana D \subset\{z=0\} possa ser obtido ignorando o caráter vetorial do campo (isto é, usando simplesmente a magnitude E(x, y) multiplicada pela área elementar):
\Phi=\iint_{D} E(x, y) d A
onde d A=d x d y. Calcule o fluxo \Phi através do disco D de raio R centrado na origem:
D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq R^{2}\right\} .
Dica: Use o sistema de coordenadas correto para a integração.

Passo 1

O enunciado dá:
E(x,y)=\frac{k}{1+x^{2}+y^{2}},\qquad k>0
e pede o fluxo
\Phi=\iint_{D} E(x,y)\,dA
onde D é o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le R^{2}\} no plano z=0.
Pergunta principal: calcular \Phi em função de k e R.

Passo 2

Observação sobre simetria e escolha de coordenadas: a função E(x,y) depende apenas de x^{2}+y^{2}, ou seja, somente da distância ao centro do disco. Para regiões circulares e funções radiais, o sistema de coordenadas polares é o mais conveniente. Em coordenadas polares definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao centro e \theta\in[0,2\pi) o ângulo polar.

Passo 3

Mudança de variável para a integral dupla: o elemento de área em coordenadas cartesianas transforma-se em coordenadas polares como
dA = r\,dr\,d\theta.
Uma explicação breve do porquê: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lado radial \Delta r e lado angular aproximado r\,\Delta\theta, portanto a área é (\Delta r)(r\Delta\theta)=r\,\Delta r\,\Delta\theta; ao passar ao limite temos dA=r\,dr\,d\theta.
Na nossa integral trocamos x^{2}+y^{2} por r^{2}, então
E(x,y)=\frac{k}{1+r^{2}}.
Os limites para o disco são r de 0 a R e \theta de 0 a 2\pi. Assim a integral fica
\Phi=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\frac{k}{1+r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Separação das integrais e cálculo da integral em r. Podemos separar o fator angular:
\Phi=k\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{R}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr\right)=k(2\pi)\int_{0}^{R}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr.
Agora calculamos \displaystyle \int_{0}^{R}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr. Use a substituição
u=1+r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{1}{2}\,du.
Quando r=0 temos u=1. Quando r=R temos u=1+R^{2}. Assim
\int_{0}^{R}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr=\int_{u=1}^{u=1+R^{2}}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\left[\ln u\right]_{1}^{1+R^{2}}=\frac{1}{2}\ln(1+R^{2}).

Passo 5

Voltando à expressão para \Phi:
\Phi = k(2\pi)\cdot\frac{1}{2}\ln(1+R^{2})=\pi k\ln(1+R^{2}).
Interpretação rápida: para R=0 obtemos \Phi=0 (fluxo nulo em um disco degenerado) e quando R cresce o fluxo cresce lentamente (logaritmicamente).

Resposta

\displaystyle \Phi=\pi k\ln\bigl(1+R^{2}\bigr)

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