Considere um campo elétrico cuja magnitude na superfície
(plano
) é dada por
com
constante. Suponha que, para efeitos desta questão, o fluxo elétrico através de uma região plana
possa ser obtido ignorando o caráter vetorial do campo (isto é, usando simplesmente a magnitude
multiplicada pela área elementar):
onde
. Calcule o fluxo
através do disco
de raio
centrado na origem:
Dica: Use o sistema de coordenadas correto para a integração.
Passo 1
O enunciado dá:
e pede o fluxo
onde
é o disco
no plano
.
Pergunta principal: calcular em função de
e
.
Pergunta principal: calcular
Passo 2
Observação sobre simetria e escolha de coordenadas: a função
depende apenas de
, ou seja, somente da distância ao centro do disco. Para regiões circulares e funções radiais, o sistema de coordenadas polares é o mais conveniente. Em coordenadas polares definimos
onde
é a distância ao centro e
o ângulo polar.
Passo 3
Mudança de variável para a integral dupla: o elemento de área em coordenadas cartesianas transforma-se em coordenadas polares como
Uma explicação breve do porquê: um pequeno retângulo em
tem lado radial
e lado angular aproximado
, portanto a área é
; ao passar ao limite temos
.
Na nossa integral trocamos
por
, então
Os limites para o disco são
de
a
e
de
a
. Assim a integral fica
Passo 4
Separação das integrais e cálculo da integral em
. Podemos separar o fator angular:
Agora calculamos
. Use a substituição
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Passo 5
Voltando à expressão para
:
Interpretação rápida: para
obtemos
(fluxo nulo em um disco degenerado) e quando
cresce o fluxo cresce lentamente (logaritmicamente).