Considere uma lâmina plana retangular no plano z=0 ocupando a região
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b\}
onde a, b>0. A densidade superficial de carga (carga por unidade de área) sobre a lâmina é dada por
\sigma(x, y)=\sigma_{0} \frac{x}{a}
onde \sigma_{0} é uma constante com unidades de carga (Coumlomb) por área ( \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} ). Calcule a carga total Q presente na lâmina. Note que \sigma=\frac{d Q}{d A} onde d A é um elemento de área infinitesimal.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a carga total presente na lâmina retangular no plano z=0. As informações dadas são:
\;D=\{(x,y)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le b\} com a,b>0.
\;A densidade superficial de carga é \sigma(x,y)=\sigma_{0}\dfrac{x}{a}, onde \sigma_{0} é constante (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}).
\;Também foi lembrado que \sigma=\dfrac{dQ}{dA}, onde dA é um elemento de área infinitesimal.
O que se pede: calcular a carga total Q da lâmina.

Passo 2

Conceito e como traduzir isso em conta: a carga total Q em uma distribuição superficial de densidade \sigma(x,y) sobre uma região D é a integral dupla de \sigma sobre D. Isto é a soma infinitesimal das cargas \sigma\,dA em cada pedaço de área. Em fórmula:
Q=\iint_{D}\sigma(x,y)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy; para coordenadas cartesianas dA=dx\,dy (ou dy\,dx, dependendo da ordem de integração). As variáveis x e y percorrem os intervalos dados por D: x de 0 a a e y de 0 a b.

Passo 3

Montando a integral iterada com a densidade dada: substituímos \sigma(x,y)=\sigma_{0}\dfrac{x}{a} na integral dupla e escolhemos a ordem \int_{y=0}^{b}\int_{x=0}^{a}(\cdot)\,dx\,dy. Assim
Q=\int_{y=0}^{b}\int_{x=0}^{a}\sigma_{0}\frac{x}{a}\,dx\,dy.

Passo 4

Simplificação: \sigma_{0} e a são constantes (não dependem de x nem de y), então \dfrac{\sigma_{0}}{a} pode sair da integral interna. Fica
Q=\int_{y=0}^{b}\left(\frac{\sigma_{0}}{a}\int_{x=0}^{a}x\,dx\right)dy.
Agora calculamos a integral interna \int_{0}^{a}x\,dx. A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, logo
\int_{x=0}^{a}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{2}}{2}.

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:
Q=\int_{y=0}^{b}\frac{\sigma_{0}}{a}\cdot\frac{a^{2}}{2}\,dy.
Simplificando o fator \dfrac{\sigma_{0}}{a}\cdot\dfrac{a^{2}}{2}=\dfrac{\sigma_{0}a}{2}, obtemos
Q=\int_{y=0}^{b}\frac{\sigma_{0}a}{2}\,dy.
Agora integramos em y: como \dfrac{\sigma_{0}a}{2} é constante em relação a y,
Q=\frac{\sigma_{0}a}{2}\int_{0}^{b}dy=\frac{\sigma_{0}a}{2}\cdot b=\frac{\sigma_{0}ab}{2}.

Passo 6

Verificação rápida de unidade e interpretação: \sigma_{0} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}, a e b têm unidades de metro, então \sigma_{0}ab/2 tem unidade \mathrm{C} — coerente para carga total. Intuitivamente, como \sigma cresce linearmente com x de 0 até \sigma_{0} (quando x=a temos \sigma=\sigma_{0}), o valor médio de \sigma na direção x é \sigma_{0}/2, e multiplicando pela área ab dá o mesmo resultado \sigma_{0}ab/2.

Resposta

\displaystyle Q=\frac{\sigma_{0}ab}{2}

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