Considere uma lâmina plana retangular no plano z=0 ocupando a região
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b\}
onde a, b>0. A densidade superficial de carga (carga por unidade de área) sobre a lâmina é dada por
\sigma(x, y)=\sigma_{0} \frac{x}{a}
onde \sigma_{0} é uma constante com unidades de carga (Coumlomb) por área ( \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} ). Calcule a carga total Q presente na lâmina. Note que \sigma=\frac{d Q}{d A} onde d A é um elemento de área infinitesimal.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a carga total presente na lâmina retangular no plano z=0. As informações dadas são: \;D=\{(x,y)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le b\} com a,b>0. \;A densidade superficial de carga é \sigma(x,y)=\sigma_{0}\dfrac{x}{a}, onde \sigma_{0} é constante (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}). \;Também foi lembrado que \sigma=\dfrac{dQ}{dA}, onde dA é um elemento de área infinitesimal.
O que se pede: calcular a carga total Q da lâmina.
Passo 2
Conceito e como traduzir isso em conta: a carga total Q em uma distribuição superficial de densidade \sigma(x,y) sobre uma região D é a integral dupla de \sigma sobre D. Isto é a soma infinitesimal das cargas \sigma\,dA em cada pedaço de área. Em fórmula:
Q=\iint_{D}\sigma(x,y)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy; para coordenadas cartesianas dA=dx\,dy (ou dy\,dx, dependendo da ordem de integração). As variáveis x e y percorrem os intervalos dados por D: x de 0 a a e y de 0 a b.
Passo 3
Montando a integral iterada com a densidade dada: substituímos \sigma(x,y)=\sigma_{0}\dfrac{x}{a} na integral dupla e escolhemos a ordem \int_{y=0}^{b}\int_{x=0}^{a}(\cdot)\,dx\,dy. Assim
Verificação rápida de unidade e interpretação: \sigma_{0} tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}, a e b têm unidades de metro, então \sigma_{0}ab/2 tem unidade \mathrm{C} — coerente para carga total. Intuitivamente, como \sigma cresce linearmente com x de 0 até \sigma_{0} (quando x=a temos \sigma=\sigma_{0}), o valor médio de \sigma na direção x é \sigma_{0}/2, e multiplicando pela área ab dá o mesmo resultado \sigma_{0}ab/2.