Considere uma casca cilíndrica infinita, de seção circular com raio
. Por simplicidade, suponha que o eixo
coincide com o eixo da casca. Esta casca possui uma densidade de carga superficial uniforme
.
Usando argumentos de simetria, explique por que o campo elétrico deve ser radial, ou seja, em coordenadas cilíndricas não possui componentes em
ou
.
Usando argumentos de simetria, explique por que o campo elétrico deve ser radial, ou seja, em coordenadas cilíndricas não possui componentes em
Passo 1
Beleza, então o exercício diz o seguinte: temos uma casca cilíndrica infinita de raio
, carregada com densidade de carga superficial uniforme
. O eixo
dela é o eixo do cilindro. A tarefa é mostrar, usando só argumentos de simetria, que o campo elétrico
só aponta na direção radial i.e. que não tem componente em
nem em
.
Conteúdo envolvido: eletrostática e simetria de distribuição de carga (invariância de translação e rotação). Vamos usar os conceitos de invariância para “eliminar” componentes do campo.
Conteúdo envolvido: eletrostática e simetria de distribuição de carga (invariância de translação e rotação). Vamos usar os conceitos de invariância para “eliminar” componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, invariância de translação ao longo de
.
– A casca é infinita no sentido do eixo , ou seja, se eu deslocar a casca um pouquinho pra cima ou pra baixo, nada muda.
– Logo, o campo não pode “apontar” numa direção preferencial no
, porque não existe nenhum ponto especial nesse eixo. Se tivesse componente
, ele mudaria de sinal ou de valor ao deslocar em
, o que violaria a hipótese de distribuição uniforme.
– Conclusão: .
– A casca é infinita no sentido do eixo
– Logo, o campo
– Conclusão:
Passo 3
Agora, invariância de rotação em torno do eixo
.
– Se a gente gira o cilindro em qualquer ângulo , a configuração de carga não muda.
– Isso significa que o campo elétrico em um ponto não pode depender do ângulo nem apontar numa direção que quebre essa simetria.
– Se existisse componente , ao girar o sistema essa componente mudaria de direção; mas não faz sentido, pois o sistema é o mesmo após a rotação.
– Conclusão: .
– Se a gente gira o cilindro em qualquer ângulo
– Isso significa que o campo elétrico em um ponto não pode depender do ângulo
– Se existisse componente
– Conclusão:
Passo 4
O único eixo que resta é a direção radial,
:
– Como e
são nulos, só sobra a componente radial.
– Além disso, por simetria, o valor de só depende da distância
ao eixo, nunca de
ou
.
– Como
– Além disso, por simetria, o valor de
Resposta
Por simetria de translação em
e rotação em
, as únicas componentes possíveis do campo são
Ou seja,
: o campo é puramente radial.