Considere uma casca cilíndrica infinita, de seção circular com raio R. Por simplicidade, suponha que o eixo z coincide com o eixo da casca. Esta casca possui uma densidade de carga superficial uniforme sigma.
Usando argumentos de simetria, explique por que o campo elétrico deve ser radial, ou seja, em coordenadas cilíndricas não possui componentes em z ou phi.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte: temos uma casca cilíndrica infinita de raio , carregada com densidade de carga superficial uniforme . O eixo dela é o eixo do cilindro. A tarefa é mostrar, usando só argumentos de simetria, que o campo elétrico só aponta na direção radial i.e. que não tem componente em nem em .
Conteúdo envolvido: eletrostática e simetria de distribuição de carga (invariância de translação e rotação). Vamos usar os conceitos de invariância para “eliminar” componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, invariância de translação ao longo de .
– A casca é infinita no sentido do eixo , ou seja, se eu deslocar a casca um pouquinho pra cima ou pra baixo, nada muda.
– Logo, o campo não pode “apontar” numa direção preferencial no , porque não existe nenhum ponto especial nesse eixo. Se tivesse componente , ele mudaria de sinal ou de valor ao deslocar em , o que violaria a hipótese de distribuição uniforme.
– Conclusão: .

Passo 3

Agora, invariância de rotação em torno do eixo .
– Se a gente gira o cilindro em qualquer ângulo , a configuração de carga não muda.
– Isso significa que o campo elétrico em um ponto não pode depender do ângulo nem apontar numa direção que quebre essa simetria.
– Se existisse componente , ao girar o sistema essa componente mudaria de direção; mas não faz sentido, pois o sistema é o mesmo após a rotação.
– Conclusão: .

Passo 4

O único eixo que resta é a direção radial, :
– Como e são nulos, só sobra a componente radial.
– Além disso, por simetria, o valor de só depende da distância ao eixo, nunca de ou .

Resposta

Por simetria de translação em Ez = 0, Ephi = 0, Er = E(r) e rotação em , as únicas componentes possíveis do campo são
Ou seja, : o campo é puramente radial.

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