Considere uma casca esférica limitada pelas superfícies
e
, com
. Nessa região, a carga é distribuída uniformemente com densidade
. Determine a densidade de energia eletrostática nas regiões
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
- Região com coordenada radial
. - Há uma casca esférica carregada ocupando o volume entre
e , com . - A densidade volumétrica de carga é uniforme e igual a
(unidades ). - Pedem a densidade de energia eletrostática nas três regiões:
-
, -
, -
.
-
Informações úteis que já identifiquei (sem resolver ainda):
- A densidade de energia eletrostática em regime eletrostático no vácuo é dada por uma expressão envolvendo o campo elétrico
. - A simetria do problema é esférica, então o campo elétrico será radial:
.
Passo 2
Vamos escolher o método: usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico
em cada região e depois calcular a densidade de energia eletrostática a partir de
.
Relembrando e explicando as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
- Lei de Gauss (forma integral): para uma superfície fechada qualquer,
onde
é a carga total encerrada pela superfície e
é a permissividade elétrica do vácuo. Em problemas com simetria esférica, escolhe-se
como uma superfície esférica de raio
, então
é paralelo a
e constante em módulo na superfície.
- Densidade de energia eletrostática no vácuo: em unidades SI,
Aqui
tem unidades de
. Explicando: é a energia elétrica por unidade de volume armazenada no campo elétrico local.
Variáveis:
-
: densidade volumétrica de carga (constante). -
: raios da casca carregada. -
: distância radial do centro (usada para distinguir as três regiões). -
: permissividade do vácuo.
Passo 3
Campo para
(interior da cavidade central).
Escolhendo uma superfície gaussiana esférica de raio
, a carga encerrada é zero porque toda a carga está no volume com
entre
e
. Logo
Pela Lei de Gauss,
logo
Portanto a densidade de energia é
Passo 4
Campo para
(dentro da casca, a uma distância
medida a partir do centro).
Agora a superfície gaussiana de raio
encerra a parte da casca entre
e
. A carga encerrada é o volume cheio de carga desde
até
vezes
. O volume de uma esfera de raio
é
, então o volume entre
e
é
. Assim
Aplicando a Lei de Gauss numa esfera de raio
:
Simplificando (cancelando
):
Podemos escrever de forma mais intuitiva separando os termos:
Explicando a expressão: o primeiro termo
cresce com
porque mais carga interna contribui; o segundo termo
aparece por subtrair a parte interna vazia (até
). A unidade confere:
tem dimensão de campo elétrico por comprimento, multiplicando por
dá campo.
Agora a densidade de energia é
Simplificando o fator numérico:
Passo 5
Campo para
(fora de toda a casca carregada).
Quando
a superfície gaussiana envolve toda a carga da casca. A carga total é
Pela Lei de Gauss,
Cancelando
obtemos
Interpretação: fora da casca, o campo é idêntico ao de uma carga pontual
no centro (proporção
).
A densidade de energia fora é
Simplificando o fator numérico:
Passo 6
Verificações rápidas e comentários pedagógicos:
- Em
o campo vindo de dentro da casca (expressão do Passo 4) avaliado em dá , compatível com o campo interior nulo (continuidade do campo radial nesse ponto). Isso é bom: a expressão em fornece zero. - Em
as expressões dos Passos 4 e 5 coincidem (continuidade do campo atravessando a superfície imaginária ), pois substituindo em ambas obtém-se o mesmo . - As unidades estão corretas:
tem unidades de quando multiplicado por termos adimensionais apropriados, e os fatores numéricos conferem.