Considere uma casca esférica limitada pelas superfícies R=a e R=b, com b>a. Nessa região, a carga é distribuída uniformemente com densidade \rho_{0}\left(C / m^{3}\right). Determine a densidade de energia eletrostática nas regiões R \leq a, a \leq R \leq b e R \geq b.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
  • Região com coordenada radial R.
  • Há uma casca esférica carregada ocupando o volume entre R=a e R=b, com b>a.
  • A densidade volumétrica de carga é uniforme e igual a \rho_{0} (unidades \mathrm{C/m^{3}}).
  • Pedem a densidade de energia eletrostática nas três regiões:
    • \,R\le a,
    • \,a\le R\le b,
    • \,R\ge b.
Informações úteis que já identifiquei (sem resolver ainda):
  • A densidade de energia eletrostática em regime eletrostático no vácuo é dada por uma expressão envolvendo o campo elétrico \mathbf{E}.
  • A simetria do problema é esférica, então o campo elétrico será radial: \mathbf{E}(R)=E(R)\,\hat{r}.

Passo 2

Vamos escolher o método: usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico E(R) em cada região e depois calcular a densidade de energia eletrostática a partir de E(R).
Relembrando e explicando as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  • Lei de Gauss (forma integral): para uma superfície fechada qualquer,
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total encerrada pela superfície e \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo. Em problemas com simetria esférica, escolhe-se \mathcal{S} como uma superfície esférica de raio R, então \mathbf{E} é paralelo a d\mathbf{A} e constante em módulo na superfície.
  • Densidade de energia eletrostática no vácuo: em unidades SI,
u(R)=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E(R)^{2}.
Aqui u(R) tem unidades de \mathrm{J/m^{3}}. Explicando: é a energia elétrica por unidade de volume armazenada no campo elétrico local.
Variáveis:
  • \rho_{0}: densidade volumétrica de carga (constante).
  • a,b: raios da casca carregada.
  • R: distância radial do centro (usada para distinguir as três regiões).
  • \varepsilon_{0}: permissividade do vácuo.

Passo 3

Campo para \,R\le a (interior da cavidade central).
Escolhendo uma superfície gaussiana esférica de raio R\le a, a carga encerrada é zero porque toda a carga está no volume com R entre a e b. Logo
Q_{\text{int}}=0.
Pela Lei de Gauss,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(R)\,4\pi R^{2}=\frac{0}{\varepsilon_{0}}=0,
logo
E(R)=0\qquad\text{para }\,R\le a.
Portanto a densidade de energia é
u(R)=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E(R)^{2}=0\qquad\text{para }\,R\le a.

Passo 4

Campo para \,a\le R\le b (dentro da casca, a uma distância R medida a partir do centro).
Agora a superfície gaussiana de raio R encerra a parte da casca entre a e R. A carga encerrada é o volume cheio de carga desde R=a até R vezes \rho_{0}. O volume de uma esfera de raio R é \tfrac{4}{3}\pi R^{3}, então o volume entre a e R é \tfrac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-a^{3}\bigr). Assim
Q_{\text{int}}(R)=\rho_{0}\cdot \frac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-a^{3}\bigr).
Aplicando a Lei de Gauss numa esfera de raio R:
E(R)\,4\pi R^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(R)}{\varepsilon_{0}} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\rho_{0}\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-a^{3}\bigr).
Simplificando (cancelando 4\pi):
E(R)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\cdot\frac{R^{3}-a^{3}}{R^{2}}.
Podemos escrever de forma mais intuitiva separando os termos:
E(R)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\Bigl(R-\frac{a^{3}}{R^{2}}\Bigr) \qquad\text{para }a\le R\le b.
Explicando a expressão: o primeiro termo \propto R cresce com R porque mais carga interna contribui; o segundo termo \propto a^{3}/R^{2} aparece por subtrair a parte interna vazia (até a). A unidade confere: \rho_{0}/\varepsilon_{0} tem dimensão de campo elétrico por comprimento, multiplicando por R dá campo.
Agora a densidade de energia é
u(R)=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E(R)^{2} =\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left[\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\Bigl(R-\frac{a^{3}}{R^{2}}\Bigr)\right]^{2}.
Simplificando o fator numérico:
u(R)=\frac{\rho_{0}^{2}}{18\varepsilon_{0}}\Bigl(R-\frac{a^{3}}{R^{2}}\Bigr)^{2} \qquad\text{para }a\le R\le b.

Passo 5

Campo para \,R\ge b (fora de toda a casca carregada).
Quando R\ge b a superfície gaussiana envolve toda a carga da casca. A carga total é
Q_{\text{tot}}=\rho_{0}\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr).
Pela Lei de Gauss,
E(R)\,4\pi R^{2}=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\rho_{0}\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr).
Cancelando 4\pi obtemos
E(R)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\cdot\frac{b^{3}-a^{3}}{R^{2}} \qquad\text{para }R\ge b.
Interpretação: fora da casca, o campo é idêntico ao de uma carga pontual Q_{\text{tot}} no centro (proporção 1/R^{2}).
A densidade de energia fora é
u(R)=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E(R)^{2} =\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left[\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\cdot\frac{b^{3}-a^{3}}{R^{2}}\right]^{2}.
Simplificando o fator numérico:
u(R)=\frac{\rho_{0}^{2}}{18\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)^{2}}{R^{4}} \qquad\text{para }R\ge b.

Passo 6

Verificações rápidas e comentários pedagógicos:
  • Em R=a o campo vindo de dentro da casca (expressão do Passo 4) avaliado em R=a E(a)=0, compatível com o campo interior nulo (continuidade do campo radial nesse ponto). Isso é bom: a expressão \frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}(R-a^{3}/R^{2}) em R=a fornece zero.
  • Em R=b as expressões dos Passos 4 e 5 coincidem (continuidade do campo atravessando a superfície imaginária R=b), pois substituindo R=b em ambas obtém-se o mesmo E(b).
  • As unidades estão corretas: \rho_{0}^{2}/\varepsilon_{0} tem unidades de \mathrm{J/m^{3}} quando multiplicado por termos adimensionais apropriados, e os fatores numéricos conferem.

Resposta

u(R)=0\quad\text{para }R\le a.
u(R)=\dfrac{\rho_{0}^{2}}{18\varepsilon_{0}}\Bigl(R-\dfrac{a^{3}}{R^{2}}\Bigr)^{2}\quad\text{para }a\le R\le b.
u(R)=\dfrac{\rho_{0}^{2}}{18\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr)^{2}}{R^{4}}\quad\text{para }R\ge b.

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