Converta as equações de Maxwell para a eletrostática da forma integral para a forma diferencial. Discuta sobre quais situações o formalismo integral e diferencial deve ser adotado.
Passo 1
O enunciado pede: transformar as equações de Maxwell na eletrostática da forma integral para a forma diferencial e discutir quando usar cada formalismo.
Informações dadas (forma integral que vou começar usando — supondo vácuo/eletrostática estática):
Informações dadas (forma integral que vou começar usando — supondo vácuo/eletrostática estática):
- Lei de Gauss (fluxo elétrico):
- Lei da circulação nula (campo eletrostático conservativo):
Também vamos usar relações de conservação de carga quando necessário e considerar superfícies/volumes arbitrários para passar às formas diferenciais. Não há imagens.
Passo 2
Lembrete matemático essencial: Teorema da divergência (teorema de Gauss). Ele diz que, para um campo vetorial
suficientemente suave num volume
com fronteira orientada
,
Condição importante:
deve ser diferenciável em
(ou no sentido de distribuições se houver singularidades). Esse teorema é a ponte que transforma integrais de superfície em integrais de volume.
Passo 3
Aplicando o teorema da divergência à Lei de Gauss integral, tomo
e escrevo o lado direito em termos da densidade de carga
:
. Assim
Como isso vale para qualquer volume
arbitrário (desde que as funções sejam normais), os integrandos devem ser iguais ponto a ponto. Logo, obtemos a forma diferencial da Lei de Gauss:
Explicando a ideia: comparar integrais sobre volumes arbitrários leva à igualdade das funções integrandas (princípio do “integral zero para volumes arbitrários implica integrando zero”).
Passo 4
Outro teorema essencial: Teorema de Stokes. Ele afirma que, para um campo vetorial
suave em uma superfície orientada
com contorno orientado
,
Condição:
deve ser suficientemente suave na região;
deve ser uma superfície lisa com contorno definido.
Passo 5
Aplicando Stokes à equação de circulação nula, com
, obtemos
Como isso vale para qualquer superfície
(com contorno
arbitrário), o integrando deve ser nulo em cada ponto; portanto
Interpretação física: campo elétrico eletrostático tem rotação nula — é um campo conservativo.
Passo 6
Consequências imediatas (ligando resultados):
- Campo conservativo implica existência de potencial escalar local
tal que
desde que o domínio seja simplesmente conexo (se houver “buracos” topológicos pode só existir potencial localmente). Explicando: se
e o domínio não tem lacunas, então
é gradiente de um escalar.
- Substituindo
em obtemos a equação de Poisson:
Em regiões sem carga (
) isso reduz à equação de Laplace
.
Passo 7
Condições de contorno na interface (derivadas da forma integral; muito úteis em problemas práticos):
- Descontinuidade da componente normal de
por causa de carga superficial . Usar um “pillbox” (um cilindro pequeno atravessando a interface) e aplicar a forma integral de Gauss:
- Pegue um volume pequeno que atravessa a superfície com área da base
. A integral de fluxo dá
No limite de altura tendendo a zero, as contribuições laterais somem a zero, ficando
Logo a condição de salto:
onde
é a componente normal imediatamente de um lado.
- Continuidade da componente tangencial de
na ausência de campos elétricos variando no tempo. Use um retângulo em torno da interface (loop pequeno) e a integral de circulação:
No limite do retângulo achatado, obtemos
ou seja, as componentes tangenciais são contínuas (se não houver campos eletromagnéticos variando no tempo que introduzam
).
Passo 8
Observações sobre hipóteses e singularidades:
- As derivadas na forma diferencial pressupõem que
e sejam funções nas quais e façam sentido clássico. Quando há cargas pontuais, a densidade contém deltas de Dirac (por exemplo ). Nesse caso a forma diferencial continua válida no sentido das distribuições; por exemplo o campo de uma carga puntiforme satisfaz em todo ponto diferente da origem, mas globalmente . A forma integral lida naturalmente com a singularidade (fluxo através de uma superfície que envolve a carga dá ).
Passo 9
Quando usar cada formalismo — dica prática e motivadora:
- Use a forma integral quando:
- Há grande simetria (esfera, cilindro, plano): aplicar a Lei de Gauss em forma integral costuma permitir achar
com poucas contas. - Quer calcular quantidades globais (fluxo, carga total num volume, lei de conservação em regiões discretas).
- Há singularidades (cargas pontuais, superfícies carregadas) e quer trabalhar com totais/fluxos sem tratar derivadas singulares.
- Deseja obter condições de contorno físicas (usando volumes/loops pequenos).
- Há grande simetria (esfera, cilindro, plano): aplicar a Lei de Gauss em forma integral costuma permitir achar
- Use a forma diferencial quando:
- Precisa de relações ponto a ponto e de equações diferenciais (Poisson/Laplace) que são resolvidas por métodos analíticos ou numéricos (separação de variáveis, métodos de elementos finitos, etc.).
- Trabalha com problemas de contorno e campos locais (por exemplo dentro de materiais com propriedades espaciais variadas).
- Quer relacionar campo e densidade localmente, ou aplicar operadores diferenciais (∇, ∇·, ∇×).
- Importante: as formas são equivalentes sob hipótese de suavidade e domínios adequados; escolher depende de conveniência e das hipóteses do problema.
Passo 10
Resumo prático e dicas para prova (como aplicar rápido):
- Se o problema dá uma simetria e pede
em pontos, tente a Lei de Gauss integral primeiro. Ex.: esfera uniformemente carregada → use superfície esférica. - Se o problema dá
e pede potencial ou campo em todo o domínio, passe para Poisson e resolva com condições de contorno. - Se aparecer carga pontual, esteja confortável em usar deltas: em problemas de prova, muitas vezes basta usar a forma integral para computar fluxos e saltos.
- Sempre verifique condições de conectividade do domínio ao afirmar que existe
global tal que .
Passo 11
Exemplo rápido (para fixar): carga pontual
no zero. Pela Lei de Gauss integral em uma esfera de raio
,
Em forma diferencial,
para
, e globalmente
Isso mostra que a integral “esconde” a singularidade de maneira direta, enquanto a diferencial precisa do conceito de distribuição.
Resposta
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}
\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}
\mathbf{E}=-\nabla\varphi
\nabla^{2}\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}
\varepsilon_{0}(E_{2n}-E_{1n})=\sigma
E_{1t}=E_{2t}
\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}
\mathbf{E}=-\nabla\varphi
\nabla^{2}\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}
\varepsilon_{0}(E_{2n}-E_{1n})=\sigma
E_{1t}=E_{2t}