Converta as equações de Maxwell para a eletrostática da forma integral para a forma diferencial. Discuta sobre quais situações o formalismo integral e diferencial deve ser adotado.

Passo 1

O enunciado pede: transformar as equações de Maxwell na eletrostática da forma integral para a forma diferencial e discutir quando usar cada formalismo.
Informações dadas (forma integral que vou começar usando — supondo vácuo/eletrostática estática):
  • Lei de Gauss (fluxo elétrico): \oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Lei da circulação nula (campo eletrostático conservativo): \oint_{C} \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = 0.
Também vamos usar relações de conservação de carga quando necessário e considerar superfícies/volumes arbitrários para passar às formas diferenciais. Não há imagens.

Passo 2

Lembrete matemático essencial: Teorema da divergência (teorema de Gauss). Ele diz que, para um campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave num volume V com fronteira orientada S=\partial V,
\oint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\;dV.
Condição importante: \mathbf{F} deve ser diferenciável em V (ou no sentido de distribuições se houver singularidades). Esse teorema é a ponte que transforma integrais de superfície em integrais de volume.

Passo 3

Aplicando o teorema da divergência à Lei de Gauss integral, tomo \mathbf{F}=\mathbf{E} e escrevo o lado direito em termos da densidade de carga \rho: Q_{\text{enc}}=\int_{V}\rho\,dV. Assim
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{E}\;dV=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho\;dV.
Como isso vale para qualquer volume V arbitrário (desde que as funções sejam normais), os integrandos devem ser iguais ponto a ponto. Logo, obtemos a forma diferencial da Lei de Gauss:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Explicando a ideia: comparar integrais sobre volumes arbitrários leva à igualdade das funções integrandas (princípio do “integral zero para volumes arbitrários implica integrando zero”).

Passo 4

Outro teorema essencial: Teorema de Stokes. Ele afirma que, para um campo vetorial \mathbf{F} suave em uma superfície orientada S com contorno orientado C=\partial S,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\int_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{A}.
Condição: \mathbf{F} deve ser suficientemente suave na região; S deve ser uma superfície lisa com contorno definido.

Passo 5

Aplicando Stokes à equação de circulação nula, com \mathbf{F}=\mathbf{E}, obtemos
\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\int_{S}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{A}=0.
Como isso vale para qualquer superfície S (com contorno C arbitrário), o integrando deve ser nulo em cada ponto; portanto
\nabla\times\mathbf{E}= \mathbf{0}.
Interpretação física: campo elétrico eletrostático tem rotação nula — é um campo conservativo.

Passo 6

Consequências imediatas (ligando resultados):
  • Campo conservativo implica existência de potencial escalar local \varphi tal que
\mathbf{E}=-\nabla\varphi,
desde que o domínio seja simplesmente conexo (se houver “buracos” topológicos pode só existir potencial localmente). Explicando: se \nabla\times\mathbf{E}=0 e o domínio não tem lacunas, então \mathbf{E} é gradiente de um escalar.
  • Substituindo \mathbf{E}=-\nabla\varphi em \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0} obtemos a equação de Poisson:
-\nabla^{2}\varphi=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\quad\Longrightarrow\quad \nabla^{2}\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Em regiões sem carga ( \rho=0) isso reduz à equação de Laplace \nabla^{2}\varphi=0.

Passo 7

Condições de contorno na interface (derivadas da forma integral; muito úteis em problemas práticos):
  1. Descontinuidade da componente normal de \mathbf{E} por causa de carga superficial \sigma. Usar um “pillbox” (um cilindro pequeno atravessando a interface) e aplicar a forma integral de Gauss:
  • Pegue um volume pequeno que atravessa a superfície com área da base A. A integral de fluxo dá
\varepsilon_{0}\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{E}\,dV=\varepsilon_{0}\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \int_{V}\rho\,dV \approx \sigma A.
No limite de altura tendendo a zero, as contribuições laterais somem a zero, ficando
\varepsilon_{0}(E_{2n}-E_{1n})A=\sigma A.
Logo a condição de salto:
\varepsilon_{0}(E_{2n}-E_{1n})=\sigma,
onde E_{in} é a componente normal imediatamente de um lado.
  1. Continuidade da componente tangencial de \mathbf{E} na ausência de campos elétricos variando no tempo. Use um retângulo em torno da interface (loop pequeno) e a integral de circulação:
\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=0.
No limite do retângulo achatado, obtemos
E_{1t}=E_{2t},
ou seja, as componentes tangenciais são contínuas (se não houver campos eletromagnéticos variando no tempo que introduzam -\partial\mathbf{B}/\partial t).

Passo 8

Observações sobre hipóteses e singularidades:
  • As derivadas na forma diferencial pressupõem que \mathbf{E} e \rho sejam funções nas quais \nabla e \nabla\cdot façam sentido clássico. Quando há cargas pontuais, a densidade \rho contém deltas de Dirac (por exemplo \rho(\mathbf{r})=q\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)). Nesse caso a forma diferencial continua válida no sentido das distribuições; por exemplo o campo de uma carga puntiforme \mathbf{E}= \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\hat{\mathbf r}}{r^{2}} satisfaz \nabla\cdot\mathbf{E}=0 em todo ponto diferente da origem, mas globalmente \nabla\cdot\mathbf{E}=q\delta(\mathbf{r})/\varepsilon_{0}. A forma integral lida naturalmente com a singularidade (fluxo através de uma superfície que envolve a carga dá q/\varepsilon_{0}).

Passo 9

Quando usar cada formalismo — dica prática e motivadora:
  • Use a forma integral quando:
    • Há grande simetria (esfera, cilindro, plano): aplicar a Lei de Gauss em forma integral costuma permitir achar \mathbf{E} com poucas contas.
    • Quer calcular quantidades globais (fluxo, carga total num volume, lei de conservação em regiões discretas).
    • Há singularidades (cargas pontuais, superfícies carregadas) e quer trabalhar com totais/fluxos sem tratar derivadas singulares.
    • Deseja obter condições de contorno físicas (usando volumes/loops pequenos).
  • Use a forma diferencial quando:
    • Precisa de relações ponto a ponto e de equações diferenciais (Poisson/Laplace) que são resolvidas por métodos analíticos ou numéricos (separação de variáveis, métodos de elementos finitos, etc.).
    • Trabalha com problemas de contorno e campos locais (por exemplo dentro de materiais com propriedades espaciais variadas).
    • Quer relacionar campo e densidade localmente, ou aplicar operadores diferenciais (∇, ∇·, ∇×).
  • Importante: as formas são equivalentes sob hipótese de suavidade e domínios adequados; escolher depende de conveniência e das hipóteses do problema.

Passo 10

Resumo prático e dicas para prova (como aplicar rápido):
  • Se o problema dá uma simetria e pede \mathbf{E} em pontos, tente a Lei de Gauss integral primeiro. Ex.: esfera uniformemente carregada → use superfície esférica.
  • Se o problema dá \rho(\mathbf{r}) e pede potencial ou campo em todo o domínio, passe para Poisson \nabla^{2}\varphi=-\rho/\varepsilon_{0} e resolva com condições de contorno.
  • Se aparecer carga pontual, esteja confortável em usar deltas: em problemas de prova, muitas vezes basta usar a forma integral para computar fluxos e saltos.
  • Sempre verifique condições de conectividade do domínio ao afirmar que existe \varphi global tal que \mathbf{E}=-\nabla\varphi.

Passo 11

Exemplo rápido (para fixar): carga pontual q no zero. Pela Lei de Gauss integral em uma esfera de raio r,
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.
Em forma diferencial, \nabla\cdot\mathbf{E}=0 para r\neq 0, e globalmente
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}\delta(\mathbf{r}).
Isso mostra que a integral “esconde” a singularidade de maneira direta, enquanto a diferencial precisa do conceito de distribuição.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}
\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}
\mathbf{E}=-\nabla\varphi
\nabla^{2}\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}
\varepsilon_{0}(E_{2n}-E_{1n})=\sigma
E_{1t}=E_{2t}

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