Considere uma casca esférica não condutora, cujos raios interno e externo são, respectivamente,
e
. A densidade de carga é dada por
é uma constante. Calcule o campo elétrico
para:
)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou escrever tudo explicitamente para não restar dúvida):
- Casca esférica não condutora com raio interno
e raio externo . - A densidade de carga dependente do raio é
, onde é uma constante. (Aqui vou interpretar como densidade volumétrica, isto é, .) - Pedem o campo elétrico
para o intervalo . - Informação implícita importante: a distribuição é esfericamente simétrica (a densidade depende só de
), logo o campo esperado tem direção radial e só depende de .
Passo 2
Conceito/ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático):
- A Lei de Gauss (forma integral) diz:
onde
é a carga total dentro da superfície fechada
e
é a permissividade do vácuo.
- Por simetria esférica, para uma superfície gaussiana esférica de raio
(com ) o campo tem a forma e é constante em módulo sobre a superfície. Assim
Explicando devagar:
é dirigido radialmente na superfície esférica, o produto escalar
, e a área total da esfera é
.
Passo 3
Calcular a carga englobada
dentro da esfera de raio
(entre
e
):
- A carga volumétrica é
. O elemento de volume em coordenadas esféricas (somente a parte radial, integrado sobre as esferas concêntricas) é
- Então o elemento de carga é
Observe que os
se cancelam — por isso a integral fica simples.
- Integrando de
até obtemos
(Comentário didático: isso significa que a carga dentro de raio
aumenta linearmente com
porque a densidade
cancela o fator
do volume.)
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss e isolar
:
- Pela Lei de Gauss,
- Cancelando
e resolvendo para vem
- Em forma vetorial, com direção radial (para
aponta para fora; se aponta para dentro):
Passo 5
Observações finais úteis para a prova (resumo de checagem):
- No limite
obtemos , ou seja, não há campo no interior do revestimento até a superfície interna (coerente: nenhuma carga está dentro do raio ). - A carga total da casca (para
) é ; colocar na expressão dá o campo na superfície externa:
- Dica prática para a prova: sempre verificar simetria antes de aplicar Gauss; aqui a dependência radial pura e a geometria esférica tornam Gauss a escolha natural.