Considere uma casca esférica não condutora, cujos raios interno e externo são, respectivamente, a e b. A densidade de carga é dada por \lambda(r)=\frac{C}{r^{2}}\, onde \(C é uma constante. Calcule o campo elétrico \vec{E}(r) para:
a \leq r \leq b)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou escrever tudo explicitamente para não restar dúvida):
  • Casca esférica não condutora com raio interno a e raio externo b.
  • A densidade de carga dependente do raio é \lambda(r)=\dfrac{C}{r^{2}}, onde C é uma constante. (Aqui vou interpretar \lambda(r) como densidade volumétrica, isto é, \rho(r)=\dfrac{C}{r^{2}}.)
  • Pedem o campo elétrico \vec{E}(r) para o intervalo a\le r\le b.
  • Informação implícita importante: a distribuição é esfericamente simétrica (a densidade depende só de r), logo o campo esperado tem direção radial e só depende de r.

Passo 2

Conceito/ferramenta que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • A Lei de Gauss (forma integral) diz:
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada S e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Por simetria esférica, para uma superfície gaussiana esférica de raio r (com a\le r\le b) o campo tem a forma \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf r} e é constante em módulo sobre a superfície. Assim
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Explicando devagar: d\vec A é dirigido radialmente na superfície esférica, o produto escalar \vec E\cdot d\vec A = E(r)\,dA, e a área total da esfera é 4\pi r^{2}.

Passo 3

Calcular a carga englobada Q_{\text{int}}(r) dentro da esfera de raio r (entre a e r):
  • A carga volumétrica é \rho(r')=\dfrac{C}{r'^{2}}. O elemento de volume em coordenadas esféricas (somente a parte radial, integrado sobre as esferas concêntricas) é
dV' = 4\pi r'^{2}dr'.
  • Então o elemento de carga é
dq = \rho(r')\,dV' = \frac{C}{r'^{2}}\cdot 4\pi r'^{2}dr' = 4\pi C\,dr'.
Observe que os r'^{2} se cancelam — por isso a integral fica simples.
  • Integrando de r'=a até r'=r obtemos
Q_{\text{int}}(r)=\int_{a}^{r}4\pi C\,dr' = 4\pi C\,(r-a).
(Comentário didático: isso significa que a carga dentro de raio r aumenta linearmente com r porque a densidade \propto 1/r^{2} cancela o fator r'^{2} do volume.)

Passo 4

Aplicar a Lei de Gauss e isolar E(r):
  • Pela Lei de Gauss,
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\pi C\,(r-a)}{\varepsilon_{0}}.
  • Cancelando 4\pi e resolvendo para E(r) vem
E(r)=\frac{C\,(r-a)}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
  • Em forma vetorial, com direção radial (para C>0 aponta para fora; se C<0 aponta para dentro):
\vec{E}(r)=\frac{C}{\varepsilon_{0}}\;\frac{r-a}{r^{2}}\;\hat{\mathbf r},\qquad a\le r\le b.

Passo 5

Observações finais úteis para a prova (resumo de checagem):
  • No limite r\to a obtemos E(a)=0, ou seja, não há campo no interior do revestimento até a superfície interna (coerente: nenhuma carga está dentro do raio a).
  • A carga total da casca (para r=b) é Q_{\text{tot}}=4\pi C\,(b-a); colocar r=b na expressão dá o campo na superfície externa:
\vec{E}(b)=\frac{C}{\varepsilon_{0}}\;\frac{b-a}{b^{2}}\;\hat{\mathbf r}.
  • Dica prática para a prova: sempre verificar simetria antes de aplicar Gauss; aqui a dependência radial pura e a geometria esférica tornam Gauss a escolha natural.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(r)=\frac{C}{\varepsilon_{0}}\;\frac{r-a}{r^{2}}\;\hat{\mathbf r},\qquad a\le r\le b

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