Considere uma casca esférica não condutora, cujos raios interno e externo são, respectivamente, a e b. A densidade de carga é dada por \lambda(r)=\frac{C}{r^{2}}\, onde \(C é uma constante. Calcule o campo elétrico \vec{E}(r) para:
r>b)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Tem-se uma casca esférica não condutora com raio interno a e raio externo b.
  • A densidade de carga espacial (densidade volumétrica) depende só de r e é dada por \rho(r)=\dfrac{C}{r^{2}}, com C constante. Esta densidade existe apenas na região da casca, ou seja para a\le r\le b.
  • A pergunta é: calcular o campo elétrico \vec{E}(r) para pontos fora da casca, isto é para r>b.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Região carregada: a\le r\le b.
  • Densidade volumétrica: \rho(r)=\dfrac{C}{r^{2}}.
  • Queremos \vec{E}(r) para r>b.

Passo 2

Simetria e escolha da superfície gaussiana:
  • A distribuição de carga depende só da distância radial r. Isso implica simetria esférica: o campo elétrico só pode depender de r e deve apontar na direção radial (para fora se a carga total for positiva, para dentro se negativa).
  • Para explorar essa simetria usamos uma superfície gaussiana esférica de raio r (com r>b), centrada no mesmo centro da casca. Nessa superfície o módulo do campo é constante e a direção é radial, o que facilita muito os cálculos.

Passo 3

Lei de Gauss (forma integral) e sua aplicação:
  • A lei de Gauss diz
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada \mathcal{S} e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Para a superfície esférica de raio r (com r>b) temos \vec{E} paralelo a d\vec{A} e constante em módulo, logo
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Portanto a lei de Gauss reduz-se a
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Cálculo da carga total encerrada Q_{\text{int}}:
  • A carga está só na casca entre r'=a e r'=b. Para calcular Q_{\text{int}} integramos a densidade volumétrica sobre esse volume:
Q_{\text{int}}=\int_{V}\rho(r')\,dV.
  • Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=4\pi r'^{2}dr' (a integração angular já dá 4\pi por simetria), portanto
Q_{\text{int}}=\int_{a}^{b}\rho(r')\;4\pi r'^{2}\,dr'.
  • Substituindo \rho(r')=\dfrac{C}{r'^{2}}:
Q_{\text{int}}=\int_{a}^{b}\frac{C}{r'^{2}}\;4\pi r'^{2}\,dr' = 4\pi C\int_{a}^{b}dr'.
Observe que os fatores r'^{2} se cancelam, deixando uma integral muito simples.
  • Avaliando a integral:
Q_{\text{int}}=4\pi C\,(b-a).

Passo 5

Relacionando E(r) com Q_{\text{int}} e interpretando:
  • Voltando à equação obtida pela lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
isola-se E(r):
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
  • Esta é a forma geral para o campo fora de uma distribuição esfericamente simétrica: fora da região carregada o campo é igual ao de uma carga pontual Q_{\text{int}} colocada no centro.

Passo 6

Substituição do valor de Q_{\text{int}} e direção do campo:
  • Substitui-se Q_{\text{int}}=4\pi C(b-a) na expressão anterior para obter o módulo do campo. O sinal/direção do vetor campo depende do sinal de C: se C>0 o campo aponta radialmente para fora; se C<0 aponta radialmente para dentro.
  • É importante checar dimensões mentalmente: \rho tem dimensão de carga/volume, C/r^{2} terá dimensão correta se C tiver dimensão carga/tempo? (não precisa entrar em detalhes aqui) — a manipulação matemática está consistente e o resultado tem dependência 1/r^{2} típica de um campo gerado por carga total concentrada no centro.

Passo 7

Resumo didático e dica prática para prova:
  • Passos que você deve repetir na prova:
    1. Identificar a simetria (aqui: esférica).
    2. Escolher superfície gaussiana compatível (esfera de raio r).
    3. Usar \oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=Q_{\text{int}}/\varepsilon_{0}.
    4. Calcular Q_{\text{int}} integrando \rho(r')\,dV sobre a região carregada.
    5. Substituir e resolver para E(r).
  • No caso concreto, a integral simplifica porque \rho(r')\propto 1/r'^{2} e o fator r'^{2} do elemento de volume cancela, restando uma integral trivial em dr'.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(r)=\frac{C\,(b-a)}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}\;\hat{r}

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