Considere uma casca esférica não condutora, cujos raios interno e externo são, respectivamente,
e
. A densidade de carga é dada por
é uma constante. Calcule o campo elétrico
para:
)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Tem-se uma casca esférica não condutora com raio interno
e raio externo . - A densidade de carga espacial (densidade volumétrica) depende só de
e é dada por , com constante. Esta densidade existe apenas na região da casca, ou seja para . - A pergunta é: calcular o campo elétrico
para pontos fora da casca, isto é para .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Região carregada:
. - Densidade volumétrica:
. - Queremos
para .
Passo 2
Simetria e escolha da superfície gaussiana:
- A distribuição de carga depende só da distância radial
. Isso implica simetria esférica: o campo elétrico só pode depender de e deve apontar na direção radial (para fora se a carga total for positiva, para dentro se negativa). - Para explorar essa simetria usamos uma superfície gaussiana esférica de raio
(com ), centrada no mesmo centro da casca. Nessa superfície o módulo do campo é constante e a direção é radial, o que facilita muito os cálculos.
Passo 3
Lei de Gauss (forma integral) e sua aplicação:
- A lei de Gauss diz
onde
é a carga total contida dentro da superfície fechada
e
é a permissividade do vácuo.
- Para a superfície esférica de raio
(com ) temos paralelo a e constante em módulo, logo
Portanto a lei de Gauss reduz-se a
Passo 4
Cálculo da carga total encerrada
:
- A carga está só na casca entre
e . Para calcular integramos a densidade volumétrica sobre esse volume:
- Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
(a integração angular já dá por simetria), portanto
- Substituindo
:
Observe que os fatores
se cancelam, deixando uma integral muito simples.
- Avaliando a integral:
Passo 5
Relacionando
com
e interpretando:
- Voltando à equação obtida pela lei de Gauss,
isola-se
:
- Esta é a forma geral para o campo fora de uma distribuição esfericamente simétrica: fora da região carregada o campo é igual ao de uma carga pontual
colocada no centro.
Passo 6
Substituição do valor de
e direção do campo:
- Substitui-se
na expressão anterior para obter o módulo do campo. O sinal/direção do vetor campo depende do sinal de : se o campo aponta radialmente para fora; se aponta radialmente para dentro. - É importante checar dimensões mentalmente:
tem dimensão de carga/volume, terá dimensão correta se tiver dimensão carga/tempo? (não precisa entrar em detalhes aqui) — a manipulação matemática está consistente e o resultado tem dependência típica de um campo gerado por carga total concentrada no centro.
Passo 7
Resumo didático e dica prática para prova:
- Passos que você deve repetir na prova:
- Identificar a simetria (aqui: esférica).
- Escolher superfície gaussiana compatível (esfera de raio
). - Usar
. - Calcular
integrando sobre a região carregada. - Substituir e resolver para
.
- No caso concreto, a integral simplifica porque
e o fator do elemento de volume cancela, restando uma integral trivial em .