Considere o caso de um elétron (massa igual a 9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ) e de um projétil de massa 0,09 \mathrm{~kg}, ambos viajando numa velocidade de 1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, medida com uma incerteza de 0,1 \%.
Estime a melhor precisão com que poderíamos localizar a posição das duas partículas, no instante da medida de suas velocidades.
Marque a resposta que melhor represente essa precisão para o caso do elétron e do projétil, respectivamente.
Elétron: 10^{-34} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-5} \mathrm{~m}.
Elétron: 10^{-33} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-4} \mathrm{~m}.
Elétron: 10^{-32} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-3} \mathrm{~m}.
Elétron: 10^{-31} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-2} \mathrm{~m}.
Elétron: 10^{-30} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-1} \mathrm{~m}.
Elétron: 10^{-5} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-34} \mathrm{~m}.
Elétron: 10^{-4} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-33} \mathrm{~m}.
Elétron: 10^{-3} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-32} \mathrm{~m}.
Elétron: 10^{-2} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-31} \mathrm{~m}.
Elétron: 10^{-1} \mathrm{~m} e projétil: 10^{-30} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede a incerteza mínima na posição de duas partículas cujas velocidades foram medidas com incerteza relativa de 0,1 %. Isso é um problema de princípio da incerteza de Heisenberg, que diz:\r
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},\r
onde \Delta p = m\,\Delta v. Aqui \Delta v = 0{,}1\%\times1000\\ \mathrm{m/s} = 1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Para o elétron, m_e = 9\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}. Então\r
\Delta p_e = m_e\,\Delta v = 9\times10^{-31}\times1 = 9\times10^{-31}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.\r
Logo\r
\Delta x_e \ge \frac{\hbar}{2\,\Delta p_e}\r = \frac{1{,}05\times10^{-34}}{2\times9\times10^{-31}}\r \approx 6\times10^{-5}\\ \mathrm{m},\r
ou seja, da ordem de 10^{-5} m.

Passo 3

Para o projétil, m_p = 0{,}09\\ \mathrm{kg}. Então\r
\Delta p_p = m_p\,\Delta v = 0{,}09\times1 = 0{,}09\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.\r
Logo\r
\Delta x_p \ge \frac{\hbar}{2\,\Delta p_p}\r = \frac{1{,}05\times10^{-34}}{2\times0{,}09}\r \approx 5{,}8\times10^{-34}\\ \mathrm{m},\r
ou seja, da ordem de 10^{-34} m.

Resposta

Elétron: 10^{-5} m e projétil: 10^{-34} m.

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