Considere um cilindro condutor de raio a, cujo eixo está na direção z e que se estende de \mathrm{z}=0 ao infinito. Em \mathrm{z}=0, o cilindro é fechado por um disco com potencial \mathrm{V}_{0}. O disco é isolado da parede. O potencial da parede é nulo. Determine o potencial em todos os pontos no interior do cilindro.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede:
  • Geometria: um cilindro condutor de raio a com eixo na direção z. O domínio de interesse é o interior do cilindro para z\ge 0 (o cilindro vai de z=0 ao infinito).
  • Condições de contorno fornecidas:
    • No plano z=0, sobre o disco de raio a (ou seja, para 0\le r<a em coordenadas cilíndricas), o potencial é \;V_0 (o disco está a potencial \;V_0).
    • A parede lateral do cilindro (superfície r=a, para z>0) tem potencial nulo: \;V(r=a,z)=0.
    • O disco está isolado da parede (ou seja, não estão em curto; ambos são especificados por suas potencias independentes).
    • Espera-se que o potencial fique finito em r=0 e que \;V\to0 quando z\to\infty.
  • O que é pedido: determinar o potencial em todos os pontos no interior do cilindro, ou seja, encontrar V(r,z) para 0\le r\le a e z\ge0.

Passo 2

Equação que governa o potencial no interior (sem cargas internas) e simetria do problema.
  • Em regiões sem carga o potencial satisfaz a equação de Laplace. Em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) a equação de Laplace é
\nabla^2 V=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 V}{\partial\varphi^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0.
  • Pelo enunciado o problema é axissimétrico (o disco e a parede não dependem de \varphi), logo não há dependência angular. Assim \partial V/\partial\varphi=0 e a equação reduz-se a
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0.
  • Vou procurar soluções contínuas e finitas em r=0, satisfazendo as condições de contorno listadas no Passo 1.

Passo 3

Método de separação de variáveis — ideia e aplicação.
  • A estratégia clássica para problemas com uma coordenada “semi-infinita” ( z\ge0) e contorno circular é tentar uma solução por separação de variáveis do tipo
V(r,z)=R(r)\,Z(z).
  • Substituindo na equação reduzida e dividindo por RZ obtemos
\frac{1}{R}\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dR}{dr}\right)+\frac{1}{Z}\frac{d^{2}Z}{dz^{2}}=0.
Cada termo depende de uma variável distinta, logo cada um deve ser igual a uma constante real. Escolhemos a constante de separação como -k^{2} (a escolha do sinal negativo é conveniente para obter decaimento exponencial em z quando k>0). Assim obtemos dois EDOs:
\frac{d^{2}Z}{dz^{2}}-k^{2}Z=0, \qquad \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dR}{dr}\right)+k^{2}R=0.

Passo 4

Resolver a equação em z e escolher a solução fisicamente aceitável.
  • A equação em z tem solução geral
Z(z)=A e^{k z}+B e^{-k z}.
  • Como queremos V finito e que vá para zero quando z\to\infty, devemos eliminar o termo crescente e^{k z}. Portanto tomamos
Z(z)=C e^{-k z},\quad k>0.
  • Conclusão: os modos separáveis que interessam têm fator e^{-k z} que decai com z.

Passo 5

Resolver a equação radial — aparece a equação de Bessel.
  • A equação radial escrita explicitamente é
r^{2}R''(r)+r R'(r)+\big(k^{2}r^{2}\big)R(r)=0.
  • Esta é a equação de Bessel de ordem zero. Suas soluções gerais são combinações das funções de Bessel J_{0}(k r) e Y_{0}(k r):
R(r)=\alpha J_{0}(k r)+\beta Y_{0}(k r).
  • Entretanto, Y_{0}(k r) diverge quando r\to0. Como o potencial deve ser finito em r=0, devemos ter \beta=0. Logo cada modo radial é proporcional a J_{0}(k r).

Passo 6

Impor a condição na parede lateral r=a e quantização dos modos radiais.
  • A condição de contorno lateral é V(r=a,z)=0 para z>0. Como cada modo tem forma J_{0}(k r)e^{-k z}, para que a condição se satisfaça para todos z precisamos que J_{0}(k a)=0.
  • Os zeros positivos de J_{0} são discretos; seja \alpha_{n} o n-ésimo zero positivo de J_{0}(x). Então os valores admissíveis de k são
k_{n}=\frac{\alpha_{n}}{a},\qquad n=1,2,3,\dots
  • Assim os modos admissíveis são J_{0}\!\big(\alpha_{n} r/a\big)\,e^{-(\alpha_{n}/a)z}.

Passo 7

Superposição dos modos para formar a solução geral.
  • Por linearidade, a solução que satisfaz Laplace e a condição V(a,z)=0 pode ser escrita como série:
V(r,z)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,J_{0}\!\big(\alpha_{n}\tfrac{r}{a}\big)\,e^{-(\alpha_{n}/a)z},
onde os coeficientes A_{n} ainda serão determinados impondo o contorno no plano z=0.

Passo 8

Impor a condição V(r,0)=V_{0} e obter os coeficientes via ortogonalidade das funções de Bessel.
  • No plano z=0 a série deve dar a função constante V_{0} para 0\le r<a:
V_{0}=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,J_{0}\!\big(\alpha_{n}\tfrac{r}{a}\big),\qquad 0\le r<a.
  • Para extrair A_{n} usamos a ortogonalidade conhecida das funções J_{0}\big(\alpha_{n} r/a\big) com peso r no intervalo [0,a]. A ortogonalidade é
\int_{0}^{a} r\,J_{0}\!\big(\alpha_{n}\tfrac{r}{a}\big)\,J_{0}\!\big(\alpha_{m}\tfrac{r}{a}\big)\,dr=\frac{a^{2}}{2}\,[J_{1}(\alpha_{n})]^{2}\,\delta_{nm},
onde J_{1} é a função de Bessel de ordem um e \delta_{nm} é o delta de Kronecker.
  • Multiplicamos a expansão de V_{0} por rJ_{0}(\alpha_{m} r/a) e integramos de 0 a a. Do lado esquerdo obtemos
\int_{0}^{a} r V_{0}\,J_{0}\!\big(\alpha_{m}\tfrac{r}{a}\big)\,dr = V_{0}\int_{0}^{a} r J_{0}\!\big(\alpha_{m}\tfrac{r}{a}\big)\,dr.
  • Esta integral pode ser calculada diretamente usando a primitiva de rJ_{0}(kr): \int r J_{0}(k r)\,dr = \dfrac{r J_{1}(k r)}{k}. Tomando k=\alpha_{m}/a e avaliando de 0 a a obtemos
\int_{0}^{a} r J_{0}\!\big(\alpha_{m}\tfrac{r}{a}\big)\,dr = \left.\frac{r J_{1}\!\big(\alpha_{m}\tfrac{r}{a}\big)}{(\alpha_{m}/a)}\right|_{0}^{a} = \frac{a^{2}J_{1}(\alpha_{m})}{\alpha_{m}}.
  • Do lado direito, pela ortogonalidade, fica apenas o termo n=m. Igualando e resolvendo para A_{m} obtemos
A_{m}\,\frac{a^{2}}{2}[J_{1}(\alpha_{m})]^{2}=V_{0}\,\frac{a^{2}J_{1}(\alpha_{m})}{\alpha_{m}}.
  • Simplificando os fatores comuns resulta
A_{m}=\frac{2V_{0}}{\alpha_{m}J_{1}(\alpha_{m})}.

Passo 9

Escrever a solução final e comentar propriedades.
  • Substituindo A_{n} na série obtemos a expressão do potencial para 0\le r\le a e z\ge0:
V(r,z)=2V_{0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{J_{0}\!\big(\alpha_{n}\tfrac{r}{a}\big)}{\alpha_{n}J_{1}(\alpha_{n})}\,e^{-(\alpha_{n}/a)z},
onde \alpha_{n} é o n-ésimo zero positivo de J_{0}(x).
  • Comentários didáticos rápidos:
    • Cada termo da soma é um modo que satisfaz Laplace e as condições V(a,z)=0 e decai com z.
    • A série reproduz V(r,0)=V_{0} no sentido apropriado (convergência em norma; pontos de contorno são tratados pela expansão em Bessel).
    • Quando z\to\infty cada termo decai exponencialmente, então V\to0, como desejado.
    • Em r=a cada J_{0}(\alpha_{n} r/a) anula-se, assegurando V(a,z)=0.

Resposta

V(r,z)=2V_{0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{J_{0}\!\big(\alpha_{n}\tfrac{r}{a}\big)}{\alpha_{n}J_{1}(\alpha_{n})}\,e^{-(\alpha_{n}/a)z},\qquad 0\le r\le a,\; z\ge0
onde \alpha_{n} é o n-ésimo zero positivo de J_{0}(x).

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