Considere um cilindro condutor de raio a, cujo eixo está na direção z e que se estende de \mathrm{z}=0 ao infinito. Em \mathrm{z}=0, o cilindro é fechado por um disco com potencial \mathrm{V}_{0}. O disco é isolado da parede. O potencial da parede é nulo. Determine o potencial em todos os pontos no interior do cilindro.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede:
Geometria: um cilindro condutor de raio a com eixo na direção z. O domínio de interesse é o interior do cilindro para z\ge 0 (o cilindro vai de z=0 ao infinito).
Condições de contorno fornecidas:
No plano z=0, sobre o disco de raio a (ou seja, para 0\le r<a em coordenadas cilíndricas), o potencial é \;V_0 (o disco está a potencial \;V_0).
A parede lateral do cilindro (superfície r=a, para z>0) tem potencial nulo: \;V(r=a,z)=0.
O disco está isolado da parede (ou seja, não estão em curto; ambos são especificados por suas potencias independentes).
Espera-se que o potencial fique finito em r=0 e que \;V\to0 quando z\to\infty.
O que é pedido: determinar o potencial em todos os pontos no interior do cilindro, ou seja, encontrar V(r,z) para 0\le r\le a e z\ge0.
Passo 2
Equação que governa o potencial no interior (sem cargas internas) e simetria do problema.
Em regiões sem carga o potencial satisfaz a equação de Laplace. Em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) a equação de Laplace é
Pelo enunciado o problema é axissimétrico (o disco e a parede não dependem de \varphi), logo não há dependência angular. Assim \partial V/\partial\varphi=0 e a equação reduz-se a
Vou procurar soluções contínuas e finitas em r=0, satisfazendo as condições de contorno listadas no Passo 1.
Passo 3
Método de separação de variáveis — ideia e aplicação.
A estratégia clássica para problemas com uma coordenada “semi-infinita” (z\ge0) e contorno circular é tentar uma solução por separação de variáveis do tipo
V(r,z)=R(r)\,Z(z).
Substituindo na equação reduzida e dividindo por RZ obtemos
Cada termo depende de uma variável distinta, logo cada um deve ser igual a uma constante real. Escolhemos a constante de separação como -k^{2} (a escolha do sinal negativo é conveniente para obter decaimento exponencial em z quando k>0). Assim obtemos dois EDOs:
Resolver a equação em z e escolher a solução fisicamente aceitável.
A equação em z tem solução geral
Z(z)=A e^{k z}+B e^{-k z}.
Como queremos V finito e que vá para zero quando z\to\infty, devemos eliminar o termo crescente e^{k z}. Portanto tomamos
Z(z)=C e^{-k z},\quad k>0.
Conclusão: os modos separáveis que interessam têm fator e^{-k z} que decai com z.
Passo 5
Resolver a equação radial — aparece a equação de Bessel.
A equação radial escrita explicitamente é
r^{2}R''(r)+r R'(r)+\big(k^{2}r^{2}\big)R(r)=0.
Esta é a equação de Bessel de ordem zero. Suas soluções gerais são combinações das funções de Bessel J_{0}(k r) e Y_{0}(k r):
R(r)=\alpha J_{0}(k r)+\beta Y_{0}(k r).
Entretanto, Y_{0}(k r) diverge quando r\to0. Como o potencial deve ser finito em r=0, devemos ter \beta=0. Logo cada modo radial é proporcional a J_{0}(k r).
Passo 6
Impor a condição na parede lateral r=a e quantização dos modos radiais.
A condição de contorno lateral é V(r=a,z)=0 para z>0. Como cada modo tem forma J_{0}(k r)e^{-k z}, para que a condição se satisfaça para todos z precisamos que J_{0}(k a)=0.
Os zeros positivos de J_{0} são discretos; seja \alpha_{n} o n-ésimo zero positivo de J_{0}(x). Então os valores admissíveis de k são
k_{n}=\frac{\alpha_{n}}{a},\qquad n=1,2,3,\dots
Assim os modos admissíveis são J_{0}\!\big(\alpha_{n} r/a\big)\,e^{-(\alpha_{n}/a)z}.
Passo 7
Superposição dos modos para formar a solução geral.
Por linearidade, a solução que satisfaz Laplace e a condição V(a,z)=0 pode ser escrita como série:
onde J_{1} é a função de Bessel de ordem um e \delta_{nm} é o delta de Kronecker.
Multiplicamos a expansão de V_{0} por rJ_{0}(\alpha_{m} r/a) e integramos de 0 a a. Do lado esquerdo obtemos
\int_{0}^{a} r V_{0}\,J_{0}\!\big(\alpha_{m}\tfrac{r}{a}\big)\,dr = V_{0}\int_{0}^{a} r J_{0}\!\big(\alpha_{m}\tfrac{r}{a}\big)\,dr.
Esta integral pode ser calculada diretamente usando a primitiva de rJ_{0}(kr): \int r J_{0}(k r)\,dr = \dfrac{r J_{1}(k r)}{k}. Tomando k=\alpha_{m}/a e avaliando de 0 a a obtemos
\int_{0}^{a} r J_{0}\!\big(\alpha_{m}\tfrac{r}{a}\big)\,dr = \left.\frac{r J_{1}\!\big(\alpha_{m}\tfrac{r}{a}\big)}{(\alpha_{m}/a)}\right|_{0}^{a} = \frac{a^{2}J_{1}(\alpha_{m})}{\alpha_{m}}.
Do lado direito, pela ortogonalidade, fica apenas o termo n=m. Igualando e resolvendo para A_{m} obtemos