Considere um cilindro longo condutor com raio interno a=2,0 \mathrm{~cm} e raio externo b=4,0 \mathrm{~cm}. A densidade de corrente na seção transversal do cilindro é dada por J=\mathrm{cr}^{2}, com \mathrm{c}=3,0 \times 10^{6} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{4} e a distância radial r (a partir do eixo central do condutor) dada em metros. Qual a intensidade do campo magnético em r=3,0 \mathrm{~cm} ? ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro condutor oco de parede entre o raio interno a=2{,}0\text{ cm} e o raio externo b=4{,}0\text{ cm}. A densidade de corrente na seção transversal varia com a distância radial r segundo
J(r) = c\,r^2,
com c = 3{,}0\times10^{6}\,\mathrm{A/m^4}.
Queremos a intensidade do campo magnético \mathbf{H} num ponto a r=3{,}0\text{ cm}, que está dentro da espessura do condutor ( a<r<b). Vamos usar a Lei de Ampère:
\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} = I_{\mathrm{enc}}.

Passo 2

Para aplicar a Lei de Ampère, precisamos do corrente total envolvida por um círculo de raio r. Como r está no interior do material condutor, a corrente envolvida é a que circula entre r'=a e r'=r:
I_{\mathrm{enc}} = \int_{r'=a}^{r'=r} J(r')\;2\pi r'\,dr'.

Passo 3

Substituindo J(r')=c\,r'^2 na integral, obtemos
I_{\mathrm{enc}} = \int_{a}^{r} c\,r'^2\;2\pi r'\,dr' = 2\pi c \int_{a}^{r} r'^3\,dr' = 2\pi c\left[\frac{r'^4}{4}\right]_{a}^{r} = \frac{\pi c}{2}\,\bigl(r^4 - a^4\bigr).

Passo 4

A simetria cilíndrica garante que \mathbf{H} é tangencial e constante em módulo ao longo de um círculo de raio r. Logo,
\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} = H(2\pi r) = I_{\mathrm{enc}} = \frac{\pi c}{2}\,(r^4 - a^4).
Dessa forma,
H = \frac{I_{\mathrm{enc}}}{2\pi r} = \frac{\pi c}{2}\,\frac{r^4 - a^4}{2\pi r} = \frac{c\,(r^4 - a^4)}{4\,r}.

Passo 5

Agora substituímos c=3{,}0\times10^{6}\,\mathrm{A/m^4}, a=0{,}02\,\mathrm{m} e r=0{,}03\,\mathrm{m}.
Calculemos primeiro r^4 - a^4:
r^4 = (0{,}03)^4 = 8{,}1\times10^{-7}, \quad a^4 = (0{,}02)^4 = 1{,}6\times10^{-7},
r^4 - a^4 = 6{,}5\times10^{-7}.
Logo,
H = \frac{3{,}0\times10^{6}\times6{,}5\times10^{-7}}{4\times0{,}03} = \frac{1{,}95}{0{,}12} \approx 16{,}3\;\mathrm{A/m}.

Resposta

A intensidade do campo magnético em r=3{,}0\text{ cm} é
\boxed{H \approx 16{,}3\;\mathrm{A/m}}
no sentido azimutal ( \varphi).

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