Um resistor com resistência 10 \mathrm{M} \Omega é conectado em série com um capacitor com 1,0 \mu \mathrm{~F} de capacitância e com uma bateria de fem igual a 12,0 \mathrm{~V}. Antes de a chave ser fechada no instante t=0, o capacitor está descarregado.
(a) Em que instante a carga do capacitor é igual a 0,50 \mu \mathrm{C} ?
(b) Qual é a corrente nesse instante?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito de carga de capacitor em série com resistor e bateria. Temos R=10\,\text{M}\Omega, C=1{,}0\,\mu\text{F} e V=12{,}0\,\text{V}. O capacitor parte descarregado em t=0. Queremos (a) o instante em que q(t)=0{,}50\,\mu\text{C} e (b) a corrente i(t) nesse instante. Vamos usar as equações padrão de carga exponencial:
q(t)=C\,V\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr),
i(t)=\frac{V}{R}\,e^{-t/RC}.

Passo 2

Primeiro, calculamos a carga máxima do capacitor:
q_{\infty}=C\,V=(1{,}0\times10^{-6}\,\text{F})(12\,\text{V})=12\times10^{-6}\,\text{C}=12\,\mu\text{C}.
Depois impomos q(t)=0{,}50\,\mu\text{C} na fórmula de q(t):
0{,}50\,\mu\text{C}=12\,\mu\text{C}\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr).

Passo 3

Isolando o exponencial:
1-e^{-t/RC}=\frac{0{,}50}{12}=0{,}0416667 \quad\Longrightarrow\quad e^{-t/RC}=1-0{,}0416667=0{,}9583333.
Tomando logaritmo:
-t/RC=\ln(0{,}9583333)\approx-0{,}04260 \quad\Longrightarrow\quad t=0{,}04260\,RC.
Como RC=(10\times10^{6}\,\Omega)(1\times10^{-6}\,\text{F})=10\,\text{s}, segue
t=0{,}04260\times10\,\text{s}=0{,}426\,\text{s}\approx0{,}43\,\text{s}.

Passo 4

Agora a corrente no circuito em função do tempo é
i(t)=\frac{V}{R}\,e^{-t/RC}.
O valor inicial é i(0)=V/R=12\,\text{V}/(10\times10^{6}\,\Omega)=1{,}2\times10^{-6}\,\text{A}=1{,}2\,\mu\text{A}.

Passo 5

Substituindo t=0{,}426\,\text{s} no fator exponencial:
i(0{,}426)=1{,}2\,\mu\text{A}\,e^{-0{,}426/10} =1{,}2\,\mu\text{A}\times e^{-0{,}0426} \approx1{,}2\,\mu\text{A}\times0{,}9583 \approx1{,}15\,\mu\text{A}.

Resposta

(a) t\approx0{,}43\,\text{s}.
(b) i\approx1{,}15\,\mu\text{A}.

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