A resistividade elétrica
de um metal à temperatura ambiente é proporcional à probabilidade de que um elétron seja espalhado pelos átomos vibrantes da rede, e essa probabilidade, por sua vez, é proporcional ao valor médio quadrático da amplitude de vibraçāo desses átomos. Assumindo que a estatística clássica seja válida nesse intervalo de temperatura, qual é a dependência da resistividade elétrica
com a temperatura absoluta
?
Passo 1
O enunciado diz que a resistividade elétrica
de um metal é proporcional à probabilidade de espalhamento de elétrons pelos átomos vibrantes da rede, e que essa probabilidade é proporcional ao valor médio quadrático da amplitude de vibração desses átomos,
. Em temperatura ambiente, assumindo estatística clássica, vamos usar o teorema da equipartição de energia para um oscilador harmônico que modela cada átomo.
Passo 2
Pelo teorema da equipartição, cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média
. Num oscilador harmônico unidimensional temos energia potencial média
onde
é a massa efetiva do átomo,
a frequência de vibração e
a constante de Boltzmann.
Passo 3
Isolando
na relação acima,
Como
e
são constantes para o metal em questão, deduzimos que
Passo 4
Como
é proporcional a
, segue-se que
Resposta
A resistividade elétrica cresce linearmente com a temperatura absoluta:
.