A resistividade elétrica \rho de um metal à temperatura ambiente é proporcional à probabilidade de que um elétron seja espalhado pelos átomos vibrantes da rede, e essa probabilidade, por sua vez, é proporcional ao valor médio quadrático da amplitude de vibraçāo desses átomos. Assumindo que a estatística clássica seja válida nesse intervalo de temperatura, qual é a dependência da resistividade elétrica \rho com a temperatura absoluta T ?

Passo 1

O enunciado diz que a resistividade elétrica \rho de um metal é proporcional à probabilidade de espalhamento de elétrons pelos átomos vibrantes da rede, e que essa probabilidade é proporcional ao valor médio quadrático da amplitude de vibração desses átomos, \langle u^2\rangle. Em temperatura ambiente, assumindo estatística clássica, vamos usar o teorema da equipartição de energia para um oscilador harmônico que modela cada átomo.

Passo 2

Pelo teorema da equipartição, cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média \tfrac{1}{2}k_B T. Num oscilador harmônico unidimensional temos energia potencial média
\frac{1}{2}\,m\,\omega^2\,\langle u^2\rangle \;=\;\frac{1}{2}\,k_B\,T,
onde m é a massa efetiva do átomo, \omega a frequência de vibração e k_B a constante de Boltzmann.

Passo 3

Isolando \langle u^2\rangle na relação acima,
\langle u^2\rangle = \frac{k_B\,T}{m\,\omega^2}\,.
Como m e \omega são constantes para o metal em questão, deduzimos que
\langle u^2\rangle \propto T\,.

Passo 4

Como \rho é proporcional a \langle u^2\rangle, segue-se que
\rho \propto \langle u^2\rangle \propto T.

Resposta

A resistividade elétrica cresce linearmente com a temperatura absoluta:
\rho \propto T.

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