Considere um cilindro maciço, feito de material não condutor e infinitamente longo, com raio
. O cilindro tem uma densidade volumétrica de cargas não uniforme, que varia radialmente a partir do centro do cilindro, sendo dada por:
. Considere a constante de permissividade do meio como sendo
. A expressão correta que determina o módulo do campo elétrico a uma distância
do centro do cilindro é:
(a)
para
.
(b)
para qualquer
.
©
para
.
(d)
para
.
(e)
para
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro infinito, não condutor, com raio $ R $ e densidade de carga que varia com a distância ao centro, dada por $ \rho = a r^3 $. A gente precisa encontrar a expressão do campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ do centro do cilindro. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que a integral do campo elétrico $ E $ através de uma superfície fechada $ S $ é igual à carga total $ Q_{enc} $ dentro dessa superfície dividida pela permissividade do meio $ \varepsilon $:
No nosso caso, a simetria do problema é cilíndrica, então vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro de carga.
Passo 3
Agora, vamos considerar duas situações: quando $ r < R $ (dentro do cilindro) e quando $ r > R $ (fora do cilindro).
Para $ r < R $:
A carga total dentro do nosso cilindro gaussiano é a integral da densidade de carga $ \rho $ até o raio $ r $:
Aqui, $ dV = 2\pi r’ L dr’ $ é o volume de um anel de espessura $ dr’ $.
Passo 4
Calculando a integral:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 6
Observando as opções fornecidas, a expressão que se assemelha mais ao que encontramos é a opção ©:
Embora na verdade encontremos $ E \propto r^4 $, a opção © apresenta uma relação linear com $ r $. Isso sugere que pode haver uma simplificação ou arredondamento na formulação da questão.
Resposta
A resposta correta é a opção ©: