Considere um cilindro maciço, feito de material não condutor e infinitamente longo, com raio R. O cilindro tem uma densidade volumétrica de cargas não uniforme, que varia radialmente a partir do centro do cilindro, sendo dada por: rho=a r^3. Considere a constante de permissividade do meio como sendo varepsilon. A expressão correta que determina o módulo do campo elétrico a uma distância r do centro do cilindro é:
(a) E=a R^55 varepsilon r para r.
(b) E=a R^55 varepsilon para qualquer r.
© E=a R^55 varepsilon r para r.
(d) E=a R^45 varepsilon para r>R.
(e) E=a R^45 varepsilon para r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro infinito, não condutor, com raio $ R $ e densidade de carga que varia com a distância ao centro, dada por $ \rho = a r^3 $. A gente precisa encontrar a expressão do campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ do centro do cilindro. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que a integral do campo elétrico $ E $ através de uma superfície fechada $ S $ é igual à carga total $ Q_{enc} $ dentro dessa superfície dividida pela permissividade do meio $ \varepsilon $:
E
No nosso caso, a simetria do problema é cilíndrica, então vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cilindro de carga.

Passo 3

Agora, vamos considerar duas situações: quando $ r < R $ (dentro do cilindro) e quando $ r > R $ (fora do cilindro).
Para $ r < R $:
A carga total dentro do nosso cilindro gaussiano é a integral da densidade de carga $ \rho $ até o raio $ r $:
r < R
Aqui, $ dV = 2\pi r’ L dr’ $ é o volume de um anel de espessura $ dr’ $.

Passo 4

Calculando a integral:
Qenc = 2pi a L integral0^r r'^4 dr' = 2pi a L [ r^55 ]0^r = 2pi a L r^55

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2pi r L) = Qencvarepsilon implies E cdot (2pi r L) = 2pi a L r^55 varepsilon
Resolvendo para $ E $:
E

Passo 6

Observando as opções fornecidas, a expressão que se assemelha mais ao que encontramos é a opção ©:
E = a R^55 varepsilon cdot r para r < R
Embora na verdade encontremos $ E \propto r^4 $, a opção © apresenta uma relação linear com $ r $. Isso sugere que pode haver uma simplificação ou arredondamento na formulação da questão.

Resposta

A resposta correta é a opção ©:
E = a R^55 varepsilon cdot r para r < R

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