Um anel de raio a está uniformemente carregado com uma carga total positiva Q. Calcule o campo elétrico em um ponto P a uma distância x ao longo do eixo central perpendicular ao plano do anel. ( k é a constante eletrostática.)
(a) k Q[a /(x^2+a^2)^3 / 2].
(b) k Q[x /(x^2+a^2)^3 / 2].
© k Q[x /(x^2-a^2)^3 / 2].
(d) k Q[a /(x^2-a^2)^3 / 2].
(e) k Q[1 / a(x^2+a^2)^3 / 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um anel carregado eletricamente e pede para calcular o campo elétrico em um ponto específico ao longo do eixo central desse anel. O conteúdo envolve a Lei de Coulomb e a simetria do campo elétrico gerado por distribuições de carga. Vamos precisar aplicar essas ideias para achar a expressão correta do campo elétrico nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um anel carregado. Imagine um círculo perfeito (o anel) com raio $ a $ e uma carga total positiva $ Q $ distribuída uniformemente ao longo dele. Queremos encontrar o campo elétrico $ E $ em um ponto $ P $ que está a uma distância $ x $ do centro do anel, ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força entre duas cargas é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. No entanto, como a carga está distribuída uniformemente no anel, precisamos integrar contribuições de todos os pequenos elementos de carga no anel.

Passo 4

Devido à simetria do anel, as componentes horizontais (perpendicular ao eixo) do campo elétrico de cada elemento de carga se cancelam. Apenas as componentes verticais (ao longo do eixo) se somam. Assim, podemos calcular a contribuição de um pequeno elemento de carga $ dq $ e depois integrar ao redor de todo o anel.

Passo 5

A contribuição de um elemento de carga $ dq $ para o campo elétrico no ponto $ P $ é dada por:
dq
onde $ k $ é a constante eletrostática, $ x $ é a distância ao longo do eixo, e $ a $ é o raio do anel.

Passo 6

Como a carga está distribuída uniformemente, podemos expressar $ dq $ em termos da carga total $ Q $ e do comprimento do anel. O comprimento do anel é $ 2\pi a $, então:
dq
onde $ dl $ é um pequeno elemento de comprimento no anel.

Passo 7

Integrando ao redor de todo o anel, a contribuição total para o campo elétrico $ E $ será:
E
Como todos os elementos $ dq $ contribuem igualmente, a integral simplifica para:
E = integral dE = integral k , dq , x(x^2 + a^2)^3/2

Resposta

A resposta correta é a opção (b):
k Q[x(x^2+a^2)^3 / 2]

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