Considere a cinemática de uma partícula restrita a mover-se ao longo de uma linha. A função posição desta partícula, como função do tempo t, é dada pela seguinte equação
x(t)=A cdot exp (-t / tau) sin omega t+C
A posição é medida em cm. Determine as unidades das constantes A, tau, omega e $C.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente está lidando com um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. A função que descreve a posição da partícula ao longo do tempo é dada por:
x(t) = A cdot exp(-ttau) sin(omega t) + C
A posição $ x(t) $ está medida em centímetros (cm). O que a gente precisa descobrir são as unidades das constantes $ A $, $ \tau $, $ \omega $ e $ C $.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função e ver como cada parte contribui para as unidades finais de $ x(t) $. A função está somando duas partes: $ A \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \sin(\omega t) $ e $ C $. Como a posição $ x(t) $ está em centímetros, ambas as partes somadas também devem estar nessa unidade.

Passo 3

Vamos começar com a constante $ C $. Como ela está sendo somada diretamente à parte que está em centímetros, $ C $ deve ter a mesma unidade para essa soma fazer sentido. Portanto, $ C $ está em centímetros (cm).

Passo 4

Agora, olhemos para a parte $ A \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \sin(\omega t) $. Para que essa expressão tenha unidades de centímetros, precisamos analisar as unidades de cada componente:
  1. $ \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) $: O argumento da exponencial precisa ser adimensional, ou seja, sem unidade. Isso significa que $ \frac{t}{\tau} $ deve ser igual a 1 quando as unidades são canceladas. Como $ t $ é tempo, a unidade de $ \tau $ também deve ser tempo para que $ t/\tau $ seja adimensional. Portanto, $ \tau $ está em segundos (s).
  2. $ \sin(\omega t) $: Similarmente, o argumento do seno também precisa ser adimensional. Então, $ \omega t $ deve ser adimensional. Sabemos que $ t $ é tempo, então $ \omega $ deve ter unidades de recíproco de tempo, ou seja, 1/segundo (s⁻¹). Essa unidade é conhecida como radianos por segundo (rad/s), que é a unidade padrão para frequência angular.

Passo 5

Finalmente, precisamos determinar a unidade de $ A $. Sabemos que toda a expressão $ A \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \sin(\omega t) $ deve ter unidades de centímetros para que a soma com $ C $ faça sentido. Como as partes exponencial e seno são adimensionais, a unidade de $ A $ diretamente determina a unidade da expressão inteira. Portanto, $ A $ está em centímetros (cm).

Resposta

As unidades das constantes são:
  • $ A $: centímetros (cm)
  • $ \tau $: segundos (s)
  • $ \omega $: radianos por segundo (rad/s)
  • $ C $: centímetros (cm)

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