Considere a cinética de segunda ordem para a reação elementar do tipo:
Quando as concentrações iniciais dos reagentes são iguais, o tempo de meia vida é 50 s . Calcule o tempo necessário para que a concentração dos reagentes caia a um quinto do valor inicial.
Passo 1
O enunciado nos dá uma reação elementar do tipo
com as concentrações iniciais dos reagentes iguais. As informações e o que se pede são:
- Dado: o tempo de meia-vida (tempo para a concentração cair pela metade) é
quando . - Pedido: calcular o tempo necessário para que a concentração dos reagentes caia a um quinto do valor inicial, ou seja, encontrar
tal que (e vale o mesmo para porque as iniciais são iguais).
Passo 2
Escrevendo a lei de velocidade para uma reação elementar bimolecular em 1:1:
onde:
-
e são as concentrações instantâneas de A e B (em mol·L^{-1}, por exemplo), -
é a constante de velocidade (unidades dependem da ordem), -
é o tempo (em ).
Como as concentrações iniciais são iguais e a estequiometria consome A e B na mesma proporção, as concentrações permanecem iguais durante o curso da reação. Então posso definir
com
. Substituindo na lei de velocidade:
Passo 3
Agora resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis. Passos:
Integrando ambos os lados do tempo
até
e da concentração
até
:
Calcule a integral esquerda:
Assim,
ou reorganizando:
Essa é a forma integrada da cinética de segunda ordem para condições equimolares.
Passo 4
Usando a expressão integrada, obtemos a meia-vida (quando
):
Calcule o lado esquerdo:
Logo
Como foi dado
, conclui-se
Passo 5
Agora usamos a fórmula integrada para o caso
. Da equação
substitua
:
Calcule o lado esquerdo:
Portanto
Mas já sabemos que
. Substituindo:
Passo 6
Interpretação rápida e dica para prova: para segunda ordem com condições equimolares, a variável natural é
e o tempo cresce linearmente com
. A fórmula
para
pode ser útil em problemas similares. Fica a boa notícia: deu só 200 s — respira, você conseguiu resolver 😃