Considere a cinética de segunda ordem para a reação elementar do tipo:
\mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \text { produtos }
Quando as concentrações iniciais dos reagentes são iguais, o tempo de meia vida é 50 s . Calcule o tempo necessário para que a concentração dos reagentes caia a um quinto do valor inicial.

Passo 1

O enunciado nos dá uma reação elementar do tipo
\mathrm{A}+\mathrm{B}\to\text{produtos}
com as concentrações iniciais dos reagentes iguais. As informações e o que se pede são:
  • Dado: o tempo de meia-vida (tempo para a concentração cair pela metade) é \;t_{1/2}=50\\ \text{s} quando [A]_0=[B]_0.
  • Pedido: calcular o tempo necessário para que a concentração dos reagentes caia a um quinto do valor inicial, ou seja, encontrar t tal que [A](t)=\dfrac{[A]_0}{5} (e vale o mesmo para [B] porque as iniciais são iguais).

Passo 2

Escrevendo a lei de velocidade para uma reação elementar bimolecular em 1:1:
-\dfrac{d[A]}{dt}=k\,[A]\,[B],
onde:
  • [A] e [B] são as concentrações instantâneas de A e B (em mol·L^{-1}, por exemplo),
  • k é a constante de velocidade (unidades dependem da ordem),
  • t é o tempo (em \text{s}).
Como as concentrações iniciais são iguais e a estequiometria consome A e B na mesma proporção, as concentrações permanecem iguais durante o curso da reação. Então posso definir
[A](t)=[B](t)=x(t),
com x(0)=[A]_0. Substituindo na lei de velocidade:
-\dfrac{dx}{dt}=k\,x^2.

Passo 3

Agora resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis. Passos:
\dfrac{dx}{x^2}=-k\,dt.
Integrando ambos os lados do tempo 0 até t e da concentração x(0)=[A]_0 até x(t)=[A]:
\int_{[A]_0}^{[A]}\dfrac{dx}{x^2}=-k\int_{0}^{t}dt.
Calcule a integral esquerda:
\int \dfrac{dx}{x^2}=-\dfrac{1}{x}.
Assim,
\left(-\dfrac{1}{[A]}\right)-\left(-\dfrac{1}{[A]_0}\right)=-kt,
ou reorganizando:
\dfrac{1}{[A]}-\dfrac{1}{[A]_0}=kt.
Essa é a forma integrada da cinética de segunda ordem para condições equimolares.

Passo 4

Usando a expressão integrada, obtemos a meia-vida (quando [A]=[A]_0/2):
\dfrac{1}{[A]_0/2}-\dfrac{1}{[A]_0}=kt_{1/2}.
Calcule o lado esquerdo:
\dfrac{2}{[A]_0}-\dfrac{1}{[A]_0}=\dfrac{1}{[A]_0}.
Logo
kt_{1/2}=\dfrac{1}{[A]_0}\quad\Rightarrow\quad k\,[A]_0=\dfrac{1}{t_{1/2}}.
Como foi dado \;t_{1/2}=50\\ \text{s}, conclui-se
k\,[A]_0=\dfrac{1}{50\\ \text{s}}.

Passo 5

Agora usamos a fórmula integrada para o caso [A]=\dfrac{[A]_0}{5}. Da equação
\dfrac{1}{[A]}-\dfrac{1}{[A]_0}=kt,
substitua [A]=\dfrac{[A]_0}{5}:
\dfrac{1}{[A]_0/5}-\dfrac{1}{[A]_0}=kt.
Calcule o lado esquerdo:
\dfrac{5}{[A]_0}-\dfrac{1}{[A]_0}=\dfrac{4}{[A]_0}.
Portanto
kt=\dfrac{4}{[A]_0}\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{4}{k\,[A]_0}.
Mas já sabemos que k\,[A]_0=\dfrac{1}{50\\ \text{s}}. Substituindo:
t=4\cdot 50\\ \text{s}=200\\ \text{s}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: para segunda ordem com condições equimolares, a variável natural é 1/[A] e o tempo cresce linearmente com 1/[A]. A fórmula t=\dfrac{n-1}{k[A]_0} para [A]=[A]_0/n pode ser útil em problemas similares. Fica a boa notícia: deu só 200 s — respira, você conseguiu resolver 😃

Resposta

\,200\\ \text{s}

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