Uma certa reação apresenta \mathrm{E}_{\mathrm{a}}=146 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Se a constante de velocidade for 4,25 \times 10^{-4} \mathrm{~s}^{-1} a 25^{\circ} \mathrm{C}, qual será o seu valor a 100^{\circ} \mathrm{C} ?
Dado: \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a constante de velocidade da reação a 100^{\circ}\mathrm{C}, sabendo que a energia de ativação é \mathrm{E}_{\mathrm{a}}=146\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1} e que a constante a 25^{\circ}\mathrm{C} é k_1=4{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}. O dado adicional é a constante dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
Dados resumidos (peguei os valores do enunciado):
\mathrm{E}_{\mathrm{a}}=146\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1},\qquad k_1=4{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1},\qquad R=8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1},
e as temperaturas pedidas são T_1=25^{\circ}\mathrm{C} e T_2=100^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Explicação da ferramenta que vamos usar (fórmula de Arrhenius) e derivação da fórmula prática.
A equação de Arrhenius diz que a constante de velocidade k depende da temperatura por
k=A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{E}_{\mathrm{a}}/(R T)},
onde:
  • k é a constante de velocidade na temperatura T,
  • A é o fator pré-exponencial (constante da reação, independente de T),
  • \mathrm{E}_{\mathrm{a}} é a energia de ativação (em J/mol),
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura em kelvin.
Tomando a razão entre duas temperaturas (eliminando A), obtemos
\frac{k_2}{k_1}=\frac{A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{E}_{\mathrm{a}}/(R T_2)}}{A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{E}_{\mathrm{a}}/(R T_1)}} =\mathrm{e}^{-\dfrac{\mathrm{E}_{\mathrm{a}}}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)}.
Assim, a fórmula prática para k_2 é
k_2=k_1\;\mathrm{e}^{-\dfrac{\mathrm{E}_{\mathrm{a}}}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)}.
Vou usar essa expressão para calcular k_2. Não precisa conhecer A.

Passo 3

Converter unidades e valores numéricos para inserir na fórmula.
  • Converter \mathrm{E}_{\mathrm{a}} para joules por mol:
\mathrm{E}_{\mathrm{a}}=146\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}=146000\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Converter temperaturas Celsius \to Kelvin:
T_1=25^{\circ}\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2=100^{\circ}\mathrm{C}=100+273{,}15=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Relembrando k_1=4{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Substituir na fórmula:
k_2 = k_1\;\mathrm{e}^{-\dfrac{146000}{8{,}314}\left(\dfrac{1}{373{,}15}-\dfrac{1}{298{,}15}\right)}.

Passo 5

Calcular passo a passo os termos numéricos.
Primeiro as inversas das temperaturas (valores aproximados com 6 casas decimais):
\dfrac{1}{T_2}=\dfrac{1}{373{,}15}\approx0{,}0026779216\\ \mathrm{K}^{-1}, \qquad \dfrac{1}{T_1}=\dfrac{1}{298{,}15}\approx0{,}0033540164\\ \mathrm{K}^{-1}.
A diferença é
\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\approx -0{,}0006760948\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 6

Calcular o fator \dfrac{\mathrm{E}_{\mathrm{a}}}{R} e o expoente:
\dfrac{\mathrm{E}_{\mathrm{a}}}{R}=\dfrac{146000}{8{,}314}\approx17560{,}7408\\ \mathrm{K}.
Multiplicando pela diferença de inversas:
-\dfrac{\mathrm{E}_{\mathrm{a}}}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right) \approx -17560{,}7408\times(-0{,}0006760948)\approx11{,}8762.

Passo 7

Calcular a exponencial e k_2:
\mathrm{e}^{11{,}8762}\approx1{,}4380\times10^{5},
portanto
k_2=k_1\times1{,}4380\times10^{5} =4{,}25\times10^{-4}\times1{,}4380\times10^{5}\\ \mathrm{s}^{-1} \approx61{,}1\\ \mathrm{s}^{-1}.
Interpretação rápida: a constante de velocidade cresceu muito ao aumentar a temperatura de 25^{\circ}\mathrm{C} para 100^{\circ}\mathrm{C}, o que é típico quando \mathrm{E}_{\mathrm{a}} é relativamente alta.

Resposta

k(100^{\circ}\mathrm{C})\approx61{,}1\\ \mathrm{s}^{-1}

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