Considere um circuito
amortecido onde as amplitudes de oscilação da carga caem pela metade de seu valor inicial após
ciclos. Mostre que a fração de redução na freqüência de ressonância, causada pela presença do resistor, é dada com boa aproximação por
que é independente de
ou
.
Passo 1
O enunciado trata de um circuito RLC série amortecido em que a carga oscila com frequência natural
e decai exponencialmente com taxa de amortecimento
. Após
ciclos a amplitude cai à metade, e queremos mostrar que a redução relativa da frequência de oscilação amortecida
satisfaz
Passo 2
A solução geral para a oscilação amortecida da carga é
onde o período amortecido é
. A condição de metade da amplitude após
ciclos é
Substituindo
obtemos
Passo 3
Como o amortecimento é pequeno, podemos aproximar
. Assim
Passo 4
A frequência amortecida satisfaz
Para
usamos a expansão de Taylor
, obtendo
Passo 5
Substituindo
vem
Note que não depende de
,
ou
, apenas de
.