Considere um circuito L C amortecido onde as amplitudes de oscilação da carga caem pela metade de seu valor inicial após n ciclos. Mostre que a fração de redução na freqüência de ressonância, causada pela presença do resistor, é dada com boa aproximação por
\frac{\omega-\omega^{\prime}}{\omega}=\frac{0,0061}{n^{2}},
que é independente de L, C ou R.

Passo 1

O enunciado trata de um circuito RLC série amortecido em que a carga oscila com frequência natural \omega=1/\sqrt{LC} e decai exponencialmente com taxa de amortecimento \delta=R/(2L). Após n ciclos a amplitude cai à metade, e queremos mostrar que a redução relativa da frequência de oscilação amortecida \omega'=\sqrt{\omega^2-\delta^2} satisfaz
\frac{\omega-\omega'}{\omega}\approx\frac{0{,}0061}{n^2}.

Passo 2

A solução geral para a oscilação amortecida da carga é
q(t)=A_0\,e^{-\delta t}\cos(\omega' t+\varphi),
onde o período amortecido é T'=2\pi/\omega'. A condição de metade da amplitude após n ciclos é
e^{-\delta\,nT'}=\tfrac12.
Substituindo T'=2\pi/\omega' obtemos
e^{-\delta\,\frac{2\pi n}{\omega'}}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \delta\,\frac{2\pi n}{\omega'}=\ln2.

Passo 3

Como o amortecimento é pequeno, podemos aproximar \omega'\approx\omega. Assim
\frac{\delta}{\omega}\approx\frac{\ln2}{2\pi n}.

Passo 4

A frequência amortecida satisfaz
\omega'=\sqrt{\omega^2-\delta^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\omega-\omega'}{\omega} =1-\sqrt{1-\Bigl(\frac{\delta}{\omega}\Bigr)^2}.
Para \delta/\omega\ll1 usamos a expansão de Taylor \sqrt{1-x^2}\approx1-\tfrac12x^2, obtendo
\frac{\omega-\omega'}{\omega}\approx\tfrac12\Bigl(\frac{\delta}{\omega}\Bigr)^2.

Passo 5

Substituindo \delta/\omega\approx\ln2/(2\pi n) vem
\frac{\omega-\omega'}{\omega} \approx\tfrac12\Bigl(\frac{\ln2}{2\pi n}\Bigr)^{\!2} =\frac{(\ln2)^2}{8\pi^2\,n^2} \approx\frac{0{,}0061}{n^2}.
Note que não depende de L, C ou R, apenas de n.

Resposta

\frac{\omega-\omega'}{\omega}=\frac{0,0061}{n^{2}}.

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