Um fio longo conduz uma corrente
uniformemente distribuída pela seção transversal do fio. (a) Mostre que a energia magnética armazenada em um comprimento
de fio é igual a
. (Por que não depende do diâmetro do fio?) (b) Mostre que a indutância para um comprimento de fio
associado com o fluxo dentro do fio é de
.
Passo 1
Resumindo: temos um fio cilíndrico longo de raio
e comprimento
, percorrido por uma corrente total
distribuída uniformemente na seção. Vamos usar (i) a Lei de Ampère para achar o campo magnético interno
em função do raio
e (ii) a densidade de energia magnética
para integrar sobre o volume do fio e obter a energia total armazenada.
Passo 2
Pela simetria cilíndrica e a Lei de Ampère em rota de raio
,
onde a corrente interna até
é proporcional à área:
Logo
Passo 3
A densidade de energia magnética em cada ponto é
Passo 4
Para obter a energia total em um trecho de comprimento
, integramos
sobre o volume cilíndrico:
Como não há dependência em
nem em
,
Passo 5
Note que o raio
desapareceu porque o
do denominador da densidade cancela com o
vindo da integral de
. Por isso o resultado não depende do diâmetro do fio.
Passo 6
Como a energia magnética pode ser escrita também por
vemos que
Resposta
(a)
. Não depende do diâmetro porque o fator
da integral cancela o
do denominador da densidade de energia.
(b) .
(b)