Um fio longo conduz uma corrente i uniformemente distribuída pela seção transversal do fio. (a) Mostre que a energia magnética armazenada em um comprimento l de fio é igual a \mu_{0} i^{2} l / 16 \pi. (Por que não depende do diâmetro do fio?) (b) Mostre que a indutância para um comprimento de fio l associado com o fluxo dentro do fio é de \mu_{0} l / 8 \pi.

Passo 1

Resumindo: temos um fio cilíndrico longo de raio R e comprimento l, percorrido por uma corrente total i distribuída uniformemente na seção. Vamos usar (i) a Lei de Ampère para achar o campo magnético interno B(r) em função do raio r e (ii) a densidade de energia magnética
u = \frac{B^2}{2\mu_0}
para integrar sobre o volume do fio e obter a energia total armazenada.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica e a Lei de Ampère em rota de raio r<R,
\oint \! \mathbf B\cdot d\mathbf \ell = B(r)\,(2\pi r) =\mu_0\,i_{\rm int}(r),
onde a corrente interna até r é proporcional à área:
i_{\rm int}(r)=i\;\frac{\pi r^2}{\pi R^2} =\;i\,\frac{r^2}{R^2}.
Logo
B(r)=\frac{\mu_0}{2\pi r}\;i_{\rm int}(r) =\frac{\mu_0\,i}{2\pi R^2}\;r.

Passo 3

A densidade de energia magnética em cada ponto é
u(r)=\frac{B(r)^2}{2\mu_0} =\frac{1}{2\mu_0}\Bigl(\frac{\mu_0\,i}{2\pi R^2}r\Bigr)^{2} =\frac{\mu_0\,i^{2}}{8\pi^{2}R^{4}}\;r^{2}.

Passo 4

Para obter a energia total em um trecho de comprimento l, integramos u(r) sobre o volume cilíndrico:
U=\int_{0}^{l}\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R} \frac{\mu_0\,i^{2}}{8\pi^{2}R^{4}}\,r^{2}\;\bigl(r\,dr\,d\theta\,dz\bigr).
Como não há dependência em \theta nem em z,
U =\frac{\mu_0\,i^{2}}{8\pi^{2}R^{4}} \;l\;(2\pi)\int_{0}^{R}r^{3}dr =\frac{\mu_0\,i^{2}\,l}{4\pi R^{4}}\;\frac{R^{4}}{4} =\frac{\mu_0\,i^{2}\,l}{16\pi}.

Passo 5

Note que o raio R desapareceu porque o R^4 do denominador da densidade cancela com o R^4 vindo da integral de r^3. Por isso o resultado não depende do diâmetro do fio.

Passo 6

Como a energia magnética pode ser escrita também por
U=\tfrac12\,L\,i^{2},
vemos que
L=\frac{2U}{i^{2}} =\frac{2}{i^{2}}\;\frac{\mu_0\,i^{2}\,l}{16\pi} =\frac{\mu_0\,l}{8\pi}.

Resposta

(a) \displaystyle U=\frac{\mu_{0}\,i^{2}\,l}{16\pi}. Não depende do diâmetro porque o fator R^4 da integral cancela o R^4 do denominador da densidade de energia.
(b) \displaystyle L=\frac{\mu_{0}\,l}{8\pi}.

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