Considere um circuito composto por uma fonte senoidal \operatorname{vs}(\mathrm{t})=\cos (\mathrm{t}) \mathrm{u}(\mathrm{t}) volts, conectada em série a um resistor R e a um indutor L e suponha que eles estejam conectados há um longo tempo.
\Omega a) Sejam \mathrm{R}=0, \mathrm{~L}=1 \mathrm{H}, calcule as potências instantânea e média fornecidas ao indutor. b) Sejam \mathrm{R}=1 e \mathrm{L}=1 \mathrm{H}, calcule as potências instantânea e média fornecidas ao resistor e ao indutor.
c) Sejam \mathrm{R}=1 e \mathrm{L}=0 \mathrm{H}, calcule as potências instantânea e média fornecidas ao resistor. d) A potência complexa fornecida ao circuito é definida como \mathrm{P}=1 / 2 \mathrm{VsI}, onde Vs e I são os fasores correspondentes à fonte e à corrente no circuito, e I* é o conjugado complexo de I. Considere os valores do resistor e do indutor fornecidos acima, calcule a potência complexa e relacione-a com a potência média calculada em cada caso.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série com fonte senoidal
v_s(t)=\cos(t)\,u(t)
em regime permanente t\to\infty, resistor R e indutor L. Vamos usar duas abordagens:
  1. No domínio do tempo para obter corrente i(t) e potências instantânea p(t)=v(t)\,i(t) e média \overline{p}.
  2. No domínio dos fasores para obter a potência complexa
S=\tfrac12\,V_s\,I^*
e relacionar \Re(S) com \overline{p}.

Passo 2

Caso (a): R=0, L=1 H. A equação de circuito é
v_s(t)=L\,\frac{di}{dt}\quad\Longrightarrow\quad \frac{di}{dt}=\cos t.
Integrando em regime permanente,
i(t)=\sin t.
A potência instantânea no indutor é
p_L(t)=v_s(t)\,i(t)=\cos t\;\sin t=\tfrac12\sin(2t),
e a potência média num período T=2\pi é
\overline{p_L} =\frac1T\int_0^T \tfrac12\sin(2t)\,dt=0.

Passo 3

Caso (b): R=1, L=1 H, \omega=1. Impedância
Z=R+j\omega L=1+j.
Fasor da fonte V_s=1\angle0. Então o fasor de corrente é
I=\frac{V_s}{Z}=\frac{1}{1+j}=\frac{1}{\sqrt2}\angle(-45^\circ).
No domínio do tempo,
i(t)=\sqrt2/2\;\cos\!\bigl(t-45^\circ\bigr).
A potência instantânea no resistor é
p_R(t)=i^2(t)\,R =\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\cos(t-45^\circ)\bigr)^2 =\tfrac12\cos^2(t-45^\circ),
e no indutor
p_L(t)=v_L(t)\,i(t) =L\frac{di}{dt}\,i(t).
As potências médias ficam
\overline{p_R}=I_{\text{rms}}^2\,R =\bigl(\tfrac{1/\sqrt2}{\sqrt2}\bigr)^2\!1 =\bigl(\tfrac12\bigr)^2= \tfrac14,
\overline{p_L}=0\quad(\text{indutor não dissipa energia}).ã

Passo 4

Caso (c): R=1, L=0. É puro resistor. Então
i(t)=\cos t,
p_R(t)=i^2(t)=\cos^2 t =\tfrac12\bigl(1+\cos2t\bigr),
\overline{p_R} =\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\tfrac12(1+\cos2t)\,dt =\tfrac12.

Passo 5

Potência complexa S=\tfrac12V_sI^*.
Caso (a): Z=j, I=1/j=-j=1\angle(-90^\circ), I^*=1\angle90^\circ.
S_a=\tfrac12\cdot1\angle0\cdot1\angle90^\circ =\tfrac12\,j.
Logo \Re(S_a)=0 (bate com \overline{p_L}=0).
Caso (b): Z=1+j, I=1/\sqrt2\angle(-45^\circ), I^*=1/\sqrt2\angle45^\circ.
S_b=\tfrac12\cdot1\angle0\cdot\frac1{\sqrt2}\angle45^\circ =\frac1{2\sqrt2}\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}+j\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) =\tfrac14+j\tfrac14.
Logo \Re(S_b)=\tfrac14 (bate com \overline{p_R}=\tfrac14).
Caso (c): Z=1, I=1\angle0, I^*=1.
S_c=\tfrac12\cdot1\cdot1=\tfrac12+ j0,
logo \Re(S_c)=\tfrac12 (bate com \overline{p_R}=\tfrac12).

Resposta

(a)
p_L(t)=\tfrac12\sin(2t),\quad \overline{p_L}=0.
(b)
p_R(t)=\tfrac12\cos^2(t-45^\circ),\; \overline{p_R}=\tfrac14; \quad p_L\text{ tem média }0.é
(c)
p_R(t)=\cos^2 t=\tfrac12\bigl(1+\cos2t\bigr),\quad \overline{p_R}=\tfrac12.
(d)
S_a=\tfrac12\,j,\;S_b=\tfrac14+j\tfrac14,\;S_c=\tfrac12+j0,
e \Re(S) coincide com as potências médias calculadas.

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