Considere uma função de z=1+j 1, w=e^{\wedge} z
a) Encontre i) \log (\mathrm{w}), ii) \operatorname{Re}(\mathrm{w}), iii) \operatorname{Im}(\mathrm{w})
b) Qual é w+w^{*}, onde w^{*} é o conjugado complexo de w ?
c) Determine |w|, \angle w \quad e |\log (w)|^{2} ?
d) Expresse \cos (1) em termos de w usando a identidade de Euler.

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo
z = 1 + j1
e define
w = e^{z}.
Vamos usar propriedades da exponencial complexa, do logaritmo principal e da forma polar de um número complexo para encontrar as quantidades pedidas.

Passo 2

Primeiro calculamos
w = e^{z} = e^{\,1 + j1} = e^{1}\,e^{\,j1}.
Como e^{1}=e e e^{j1}=\cos(1)+j\sin(1), temos
w = e\bigl(\cos(1)+j\sin(1)\bigr).

Passo 3

Para o logaritmo principal de w usamos
\log(w) = \ln\bigl|w\bigr| + j\Arg(w).
Da forma de w obtemos \bigl|w\bigr|=e e \Arg(w)=1. Logo
\log(w) = \ln(e) + j\cdot 1 = 1 + j1.

Passo 4

Da expressão w = e\bigl(\cos(1)+j\sin(1)\bigr) lemos diretamente
\Re(w) = e\cos(1), \qquad \Im(w) = e\sin(1).

Passo 5

O conjugado é w^{*}=e\bigl(\cos(1)-j\sin(1)\bigr). Assim
w + w^{*} = e\bigl(\cos(1)+j\sin(1)\bigr) + e\bigl(\cos(1)-j\sin(1)\bigr) = 2\,e\cos(1).

Passo 6

Já temos
\bigl|w\bigr| = e, \qquad \angle w = 1\text{ rad},
e do logaritmo \log(w)=1+j1 vem
\bigl|\log(w)\bigr|^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2.

Passo 7

Pela identidade de Euler
\cos(1) = \frac{e^{j1} + e^{-j1}}{2}.
Como e^{j1}=w/e e e^{-j1}=w^{*}/e, segue
\cos(1) = \frac{\tfrac{w}{e} + \tfrac{w^{*}}{e}}{2} = \frac{w + w^{*}}{2\,e}.

Resposta

a)
i) \log(w) = 1 + j1
ii) \Re(w) = e\cos(1)
iii) \Im(w) = e\sin(1)
b) w + w^{*} = 2\,e\cos(1)
c) \bigl|w\bigr| = e,\quad \angle w = 1\text{ rad},\quad \bigl|\log(w)\bigr|^{2} = 2
d) \displaystyle \cos(1) = \frac{w + w^{*}}{2\,e}

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