Considere uma função de z=1+j 1, w=e^{\wedge} z
a) Encontre i) \log (\mathrm{w}), ii) \operatorname{Re}(\mathrm{w}), iii) \operatorname{Im}(\mathrm{w})
b) Qual é w+w^{*}, onde w^{*} é o conjugado complexo de w ?
c) Determine |w|, \angle w \quad e |\log (w)|^{2} ?
d) Expresse \cos (1) em termos de w usando a identidade de Euler.
Passo 1
O enunciado nos dá o número complexo
z = 1 + j1
e define
w = e^{z}.
Vamos usar propriedades da exponencial complexa, do logaritmo principal e da forma polar de um número complexo para encontrar as quantidades pedidas.
Passo 2
Primeiro calculamos
w = e^{z} = e^{\,1 + j1} = e^{1}\,e^{\,j1}.
Como e^{1}=e e e^{j1}=\cos(1)+j\sin(1), temos
w = e\bigl(\cos(1)+j\sin(1)\bigr).
Passo 3
Para o logaritmo principal de w usamos
\log(w) = \ln\bigl|w\bigr| + j\Arg(w).
Da forma de w obtemos \bigl|w\bigr|=e e \Arg(w)=1. Logo
\log(w) = \ln(e) + j\cdot 1 = 1 + j1.
Passo 4
Da expressão w = e\bigl(\cos(1)+j\sin(1)\bigr) lemos diretamente
\Re(w) = e\cos(1), \qquad \Im(w) = e\sin(1).
Passo 5
O conjugado é w^{*}=e\bigl(\cos(1)-j\sin(1)\bigr). Assim
w + w^{*} = e\bigl(\cos(1)+j\sin(1)\bigr) + e\bigl(\cos(1)-j\sin(1)\bigr) = 2\,e\cos(1).
Passo 6
Já temos
\bigl|w\bigr| = e, \qquad \angle w = 1\text{ rad},