Considere um circuito elétrico constituído por uma resistência de
ohms em série com um condensador de capacitância
farads, um gerador de Eo volts e um interruptor. No tempo
a chave é fechada. Supondo-se que a carga no capacitor é zero em
e que
e
são constantes, determine:
(3 pontos) A corrente em função do tempo.
(3 pontos) A corrente em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vou resumir o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Temos um circuito série com:
Temos um circuito série com:
- Uma resistência R (em ohms)
- Um capacitor de capacitância C (em farads)
- Um gerador de tensão
(em volts) - Um interruptor que fecha em
Começando com o capacitor descarregado (), queremos achar a corrente depois de fechar a chave.
Conteúdo envolvido: circuito RC, equação de malha (Lei de Kirchhoff) e solução de uma equação diferencial de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a Lei de Kirchhoff na malha depois que a chave fecha. A ideia é somar quedas de tensão no resistor e no capacitor e igualar à tensão do gerador.
- Queda no resistor:
- Queda no capacitor:
, onde é a carga no capacitor.
Então a malha dá:
Não pule etapas: essa equação diz que a fonte entrega tudo que “cai” no resistor e no capacitor.
Passo 3
A gente sabe pela definição de corrente que
Substituindo na equação da malha, fica
Pronto, virou uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Vamos resolver essa EDO:
A técnica mais comum é usar fator integrante. O fator é
Multiplicamos tudo por
:
O lado esquerdo é a derivada de
. Então:
Agora integramos em
:
Isolando
:
Para achar
, usamos a condição inicial
:
Então
Passo 5
Lembra que queremos a corrente
. Basta derivar
:
Resposta
A corrente no circuito, para
, é