Considere um circuito elétrico constituído por uma resistência de R ohms em série com um condensador de capacitância C farads, um gerador de Eo volts e um interruptor. No tempo t=0 a chave é fechada. Supondo-se que a carga no capacitor é zero em t=0 e que A, C e E0 são constantes, determine:
(3 pontos) A corrente em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vou resumir o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Temos um circuito série com:
  • Uma resistência R (em ohms)
  • Um capacitor de capacitância C (em farads)
  • Um gerador de tensão (em volts)
  • Um interruptor que fecha em
    Começando com o capacitor descarregado ( ), queremos achar a corrente depois de fechar a chave.
    Conteúdo envolvido: circuito RC, equação de malha (Lei de Kirchhoff) e solução de uma equação diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a Lei de Kirchhoff na malha depois que a chave fecha. A ideia é somar quedas de tensão no resistor e no capacitor e igualar à tensão do gerador.
  • Queda no resistor: E0 - vR - vC = 0 Longrightarrow E0 - R,i(t) - q(t)C = 0
  • Queda no capacitor: , onde é a carga no capacitor.
    Então a malha dá:
Não pule etapas: essa equação diz que a fonte entrega tudo que “cai” no resistor e no capacitor.

Passo 3

A gente sabe pela definição de corrente que
i(t) = dq(t)dt
Substituindo na equação da malha, fica
E0 - R,dqdt - qC = 0 Longrightarrow R,dqdt + 1C,q = E0
Pronto, virou uma equação diferencial linear de primeira ordem para .

Passo 4

Vamos resolver essa EDO:
dqdt + 1RC,q = E0R
A técnica mais comum é usar fator integrante. O fator é
mu(t) = e^integral 1RC,dt = e^t/(RC)
Multiplicamos tudo por e^t/(RC)dqdt + 1RC,e^t/(RC)q = E0R,e^t/(RC) :
ddtl(e^t/(RC),q(t)r) = E0R,e^t/(RC)
O lado esquerdo é a derivada de e^t/(RC),q(t) = integral E0R,e^t/(RC),dt = E0Rcdot RC,e^t/(RC) + K = E0,C,e^t/(RC) + K . Então:
q(t) = E0,C + K,e^-t/(RC)
Agora integramos em 0 = E0,C + K Longrightarrow K = -E0,C :
q(t) = E0,Cl(1 - e^-t/(RC)r)
Isolando :
Para achar , usamos a condição inicial :
Então

Passo 5

Lembra que queremos a corrente i(t) = dqdt = E0,C cdot ddtl(1 - e^-t/(RC)r) = E0,C cdot l(0 - l(-tfrac1RCr),e^-t/(RC)r) = E0R,e^-t/(RC) . Basta derivar :

Resposta

A corrente no circuito, para boxedi(t) = E0R,e^-tfractR,C, , é

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