A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
(4 pontos) y^prime prime prime+3 y^prime prime+3 y^prime+y=12 e^-t ; y(0)=1 ; y^prime(0)=0 ; y^prime prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o PVI
y''' + 3y'' + 3y' + y = 12e^-t, y(0)=1,;y'(0)=0,;y''(0)=1
Conteúdo: Transformada de Laplace aplicada a EDO de terceira ordem com condição inicial.
O que vamos precisar:
  • Propriedade linear da Transformada de Laplace.
  • Fórmulas de .
  • Como fazer frações parciais e inverter a transformada.

Passo 2

Primeiro, aplicamos Laplace em cada termo da equação:
Ly''' +3, Ly'' +3, Ly' + Ly = L12e^-t
Lembrando que .

Passo 3

Agora usamos as fórmulas de derivadas:
Ly'''&=s^3Y(s)-s^2-1, 3, Ly''&=3l(s^2Y(s)-scdot1-0r)=3s^2Y(s)-3s, 3, Ly'&=3l(sY(s)-1r)=3sY(s)-3, Ly&=Y(s) ,
,
.
Substituindo :
E do lado direito .

Passo 4

Somando tudo dá
l(s^3+3s^2+3s+1r)Y(s);-;(s^2+3s+4) ;=;12s+1
Como Y(s) =12/(s+1);+;(s^2+3s+4)(s+1)^3 =s^3+4s^2+7s+16(s+1)^4 , isolamos

Passo 5

Fazendo frações parciais no formato
A=1,;B=1,;C=2,;D=12 ,
acaba que
Y(s) =1s+1+1(s+1)^2+2(s+1)^3+12(s+1)^4
Então

Passo 6

Agora é só inverter cada termo usando
y(t) =e^-t l[ 1 + t +2t^22! +12t^33! r] =e^-tl(1+t+t^2+2t^3r) :

Resposta

boxedy(t)=e^-t,(1+t+t^2+2t^3)

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