A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
(4 pontos)
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente achar a função que satisfaz a EDO
com as condições iniciais
Isso é um Problema de Valor Inicial (PVI) e vamos usar Transformada de Laplace pra resolver.
Conteúdo: equações diferenciais e transformada de Laplace.
O que a gente precisa saber:
Tabela básica (por ex. , , ).
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO. Chamando :
Substituindo as propriedades e as condições iniciais , :
Ou seja
Passo 3
Agora a gente isola :
Passo 4
Pra inverter, fazemos frações parciais.
Queremos escrever
Multiplicando tudo por :
Expandindo:
Igualando coeficientes:
Da primeira Y(s) = 1s+1 + -s+1s^2+1 . Da segunda . Na terceira . Então
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Passo 5
É hora de aplicar a transformada inversa termo a termo.