A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
(4 pontos) y^prime prime+y=2 e^-t ; y(0)=0 ; y^prime(0)=0

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente achar a função y'' + y = 2e^-t que satisfaz a EDO
y(0)=0, y'(0)=0
com as condições iniciais
Isso é um Problema de Valor Inicial (PVI) e vamos usar Transformada de Laplace pra resolver.
Conteúdo: equações diferenciais e transformada de Laplace.
O que a gente precisa saber:
  • Tabela básica (por ex. , , ).

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO. Chamando Ly'' + Ly = L2e^-t :
l(s^2Y(s) - scdot0 - 0r) ;+; Y(s) ;=; 2cdot1s+1
Substituindo as propriedades e as condições iniciais s^2Y(s) + Y(s) = 2s+1 , :
Ou seja

Passo 3

Agora a gente isola Y(s),(s^2 + 1) = 2s+1 Longrightarrow Y(s) = 2(s+1)(s^2+1) :

Passo 4

Pra inverter, fazemos frações parciais.
Queremos escrever
2(s+1)(s^2+1) = As+1 + Bs + Cs^2+1
Multiplicando tudo por 2 = A(s^2+1) + (Bs + C)(s+1) :
2 = A s^2 + A + B s^2 + B s + C s + C = (A+B)s^2 + (B+C)s + (A+C)
Expandindo:
A + B = 0, B + C = 0, A + C = 2
Igualando coeficientes:
A=1, B=-1, C=1
Da primeira Y(s) = 1s+1 + -s+1s^2+1 . Da segunda . Na terceira . Então
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Passo 5

É hora de aplicar a transformada inversa termo a termo.
  • y(t) = e^-t ;-;cos t;+;sin t .
  • .
  • .
Somando tudo dá

Resposta

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