Considere um circuito formado por um capacitor de capacitância
ligado em série com um resistor cuja resistência é
, alimentado por uma bateria ideal com f.e.m
.
a) Mostre que a energia dissipada no resistor
é
b) Mostre que a energia armazenada no capacitor
é
c) Mostre que a energia fornecida pela bateria
em um instante
é
d) Mostre que após um longo tempo (
), a energia dissipada no resistor é igual a energia armazenada no capacitor.
e) Mostre que se
, a soma da energia dissipada no resistor com a energia armazenada no capacitor é exatamente a energia fornecida pela bateria.
f) Faça o gráfico de
a) Mostre que a energia dissipada no resistor
e) Mostre que se
f) Faça o gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá um circuito série com um capacitor de capacitância
e um resistor de resistência
, ligado a uma bateria ideal de f.e.m.
. Condições iniciais implícitas: o capacitor está descarregado em
, isto é, a carga inicial é
. O que se pede:
(a) a expressão para a energia dissipada no resistor até um tempo ,
;
(b) a expressão para a energia armazenada no capacitor em ,
;
(c) a expressão para a energia fornecida pela bateria até ,
;
(d) mostrar que quando a energia dissipada no resistor é igual à energia armazenada no capacitor;
(e) mostrar que quando a soma
é igual à energia fornecida pela bateria;
(f) desenhar o gráfico de .
(a) a expressão para a energia dissipada no resistor até um tempo
(b) a expressão para a energia armazenada no capacitor em
(c) a expressão para a energia fornecida pela bateria até
(d) mostrar que quando
(e) mostrar que quando
(f) desenhar o gráfico de
Informações relevantes fornecidas:
e condição inicial
. A resolução a seguir vai obter
e então calcular as energias pedidas.
Passo 2
Equações fundamentais e montagem da equação diferencial. Vou lembrar duas relações básicas para capacitores e circuitos em série:
- A corrente é a taxa de variação da carga no capacitor:
, onde é a carga no capacitor em coulombs. - A tensão no capacitor é
.
Aplicando a Lei das Malhas (KVL) no circuito série temos que a queda de potencial no resistor mais a queda no capacitor é igual à f.e.m. da bateria:
Como
e
, substituindo obtemos a equação diferencial para
:
Explicando esta equação: o termo
representa a tensão instantânea no resistor (lei de Ohm), e
é a tensão no capacitor. A soma deve ser a tensão fornecida
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
É uma equação linear padrão. Podemos escrever na forma
Método: encontrar solução geral como soma da solução homogênea e particular.
Solução homogênea:
cuja solução é
onde
é constante a determinar pela condição inicial.
Uma solução particular constante para o lado direito constante
é
pois substituindo dá
.
Assim a solução geral é
Usando
temos
Portanto
Derivar para obter a corrente:
Simplificando,
Tensão no capacitor:
Resumo útil (será usado nas próximas contas):
Passo 4
Energia armazenada no capacitor em
. Fórmula para energia instantânea armazenada num capacitor de capacitância
com tensão
é
Aqui
. Substituindo:
Colocando
em evidência e expandindo o quadrado:
Isso fornece exatamente a expressão pedida no item (b).
Passo 5
Energia dissipada no resistor até o tempo
. A potência instantânea dissipada no resistor é
. A energia dissipada até
é a integral dessa potência:
Substituir
:
Simplificando o fator constante:
Calcular a integral exponencial. Usar a primitiva de
que é
, aqui
. Assim
Multiplicando pelo fator
obtemos
Simplificando
cancela parcialmente:
Isso corresponde exatamente à expressão pedida no item (a).
Passo 6
Energia fornecida pela bateria até o tempo
. A potência fornecida pela bateria é
. A energia fornecida até
é
Mas
porque
. Então
Usando
obtemos
Isso é exatamente a expressão do item (c).
Passo 7
Verificação da conservação de energia (relação entre as três energias). Somar
e
usando as fórmulas obtidas:
Somando os dois parênteses:
Logo
Comparando com a expressão de
que obtivemos no passo anterior, vemos que
o que confirma a conservação de energia (toda a energia fornecida pela bateria até
foi dissipada no resistor ou armazenada no capacitor).
Passo 8
Limite quando
(item d). Analisar os limites exponenciais:
e
. Aplicando aos resultados:
Portanto quando
as energias
e
tornam-se iguais, ambas valendo
, como pedido no item (d).
Passo 9
Limite quando
para a energia fornecida pela bateria e verificação da soma (item e). De
segue:
E como
e
, a soma no limite é
Isso confirma o item (e): a energia total fornecida pela bateria é exatamente dividida entre dissipação (metade) e energia armazenada (metade) no regime estacionário.
Passo 10
Gráfico de
(item f). A função é
Características importantes do gráfico para desenhar:
- No instante
: . - Quando
: (assíntota horizontal). - Derivada temporal (taxa de variação) da energia:
. Em a inclinação inicial é . - A constante de tempo relevante para a subida é
. Em temos
Portanto o gráfico é uma curva exponencial crescente que parte de zero, cresce rapidamente nas primeiras frações de
e se aproxima assintoticamente de
quando
se torna várias vezes
. Para desenhar: eixo vertical
, eixo horizontal
, assinalar
,
e a assíntota
, traçar curva do tipo
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d) \n
(e) \n
(f) Gráfico: , curva exponencial crescente de
em
até a assíntota
quando
, com constante de tempo
e inclinação inicial
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Gráfico: