Um capacitor de C=100 \mu \mathrm{~F} é ligado em série com um resistor R=2,0 \mathrm{k} \Omega a uma bateria de V_{0}=12 \mathrm{~V}.
(a) Escreva as equações que descrevem a quantidade de carga e a corrente elétrica no circuito em função do tempo durante o carregamento do capacitor.
(b) Determine o tempo necessário para que a carga atinja 25 \% do valor máximo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Dados:
    • C=100\\ \mu\mathrm{F}.
    • R=2{,}0\\ \mathrm{k}\Omega.
    • V_{0}=12\\ \mathrm{V}.
  • O enunciado pede:
    • (a) Escrever as equações que descrevem a carga q(t) e a corrente i(t) no circuito durante o carregamento do capacitor.
    • (b) Determinar o tempo necessário para que a carga atinja 25\% do valor máximo.

Passo 2

Entender a física básica e as relações fundamentais que vamos usar (mini-aula).
  • Um capacitor tem carga e tensão relacionadas por:
q = C\,V_C,
onde q é a carga no capacitor, C é a capacitância e V_C é a tensão no capacitor.
  • A corrente elétrica é a taxa de variação da carga:
i(t)=\frac{dq}{dt}.
  • No circuito em série com uma bateria, resistor e capacitor, aplica-se a Lei das Malhas (Kirchhoff): a soma das quedas de tensão ao longo da malha é igual à tensão da fonte. Se tomarmos a polaridade de modo que V_0 fornece tensão que carrega o capacitor, a equação da malha é
V_{0}=V_R+V_C,
onde V_R é a queda no resistor e V_C a do capacitor.
  • A queda no resistor obedece à Lei de Ohm:
V_R = iR.
Substituindo V_C = q/C e V_R=iR na lei das malhas, obtemos a equação diferencial que governa o carregamento.

Passo 3

Montar a equação diferencial do circuito e colocá-la em forma padrão.
  • A equação de malha com as relações acima fica:
V_{0}=iR+\frac{q}{C}.
  • Como i=\dfrac{dq}{dt}, substituímos e obtemos:
V_{0}=R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}.
  • Reorganizando para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\,q=\frac{V_{0}}{R}.

Passo 4

Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem (método do fator integrante). Vou explicar passo a passo porque pode aparecer em prova.
  • A equação é
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\,q=\frac{V_{0}}{R}.
  • O fator integrante \mu(t) é
\mu(t)=\exp\!\left(\int\frac{1}{RC}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos que o lado esquerdo vira a derivada de \mu q:
\frac{d}{dt}\!\left(e^{t/(RC)}q\right)=\frac{V_{0}}{R}e^{t/(RC)}.
  • Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{t/(RC)}q=\frac{V_{0}}{R}\int e^{t/(RC)}\,dt + C_1.
  • Calculando a integral:
\int e^{t/(RC)}\,dt = RC\,e^{t/(RC)}.
  • Assim:
e^{t/(RC)}q=\frac{V_{0}}{R}\cdot RC\,e^{t/(RC)} + C_1 = C V_{0}\,e^{t/(RC)} + C_1.
  • Dividindo por e^{t/(RC)}:
q(t)=C V_{0} + C_1 e^{-t/(RC)}.
  • Aplicando a condição inicial: no instante t=0 o capacitor está descarregado, logo q(0)=0. Substituindo:
0 = C V_{0} + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -C V_{0}.
  • Portanto a solução física (com a constante ajustada) é
q(t)=C V_{0}\left(1-e^{-t/(RC)}\right).

Passo 5

Obter a expressão para a corrente i(t) a partir de q(t) e interpretar resultados importantes (mais didática).
  • A corrente é i(t)=\dfrac{dq}{dt}. Derivando q(t):
i(t)=\frac{d}{dt}\left[C V_{0}\left(1-e^{-t/(RC)}\right)\right] = C V_{0}\cdot\frac{1}{RC}e^{-t/(RC)}.
  • Simplificando:
i(t)=\frac{V_{0}}{R}\,e^{-t/(RC)}.
  • Comentários físicos:
    • Corrente inicial: i(0)=\dfrac{V_{0}}{R} (no instante t=0 o capacitor age como curto-circuito).
    • Corrente em longo prazo: \lim_{t\to\infty}i(t)=0 (quando o capacitor está totalmente carregado não existe corrente contínua).
    • Carga máxima (valor em regime estacionário): \lim_{t\to\infty}q(t)=C V_{0}.

Passo 6

Introduzir e interpretar a constante de tempo \tau (dica de prova).
  • Define-se a constante de tempo por
\tau = RC.
  • Em termos de \tau as soluções ficam mais compactas:
q(t)=C V_{0}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad i(t)=\frac{V_{0}}{R}e^{-t/\tau}.
  • Interpretação rápida: após um tempo t=\tau a carga atinge cerca de 1-e^{-1}\approx0{,}632 (ou 63{,}2\%) do valor final.

Passo 7

Resolver a parte (b): tempo para que q(t) atinja 25\% de q_{\max}.
  • O valor máximo é q_{\max}=C V_{0}. Queremos q(t)=0{,}25\,q_{\max}, isto é:
C V_{0}\left(1-e^{-t/(RC)}\right)=0{,}25\,C V_{0}.
  • Simplificando (podemos dividir por C V_{0} porque são positivos):
1-e^{-t/(RC)}=0{,}25.
  • Isolando o exponencial:
e^{-t/(RC)}=1-0{,}25=0{,}75.
  • Tomando logaritmo natural:
-\frac{t}{RC}=\ln(0{,}75)\quad\Rightarrow\quad t=-RC\ln(0{,}75)=RC\ln\!\left(\frac{1}{0{,}75}\right).
  • Observando que \dfrac{1}{0{,}75}=\dfrac{4}{3}, podemos escrever
t=RC\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).

Passo 8

Calcular numericamente usando os valores dados.
  • Primeiro calcular \tau=RC:
R=2{,}0\\ \mathrm{k}\Omega=2{,}0\times10^{3}\\ \Omega,\qquad C=100\\ \mu\mathrm{F}=100\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{F}.
\tau = RC = (2{,}0\times10^{3})(1{,}0\times10^{-4})=0{,}20\\ \mathrm{s}.
  • Agora:
t=\tau\ln\!\left(\frac{4}{3}\right)=0{,}20\cdot\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
  • Avaliando \ln\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx0{,}287682\ldots, obtemos
t\approx0{,}20\times0{,}287682\approx0{,}0575364\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando de forma razoável:
t\approx0{,}0575\\ \mathrm{s}\approx57{,}5\\ \mathrm{ms}.

Resposta

(a) \displaystyle q(t)=C V_{0}\left(1-e^{-t/(RC)}\right), \displaystyle i(t)=\frac{V_{0}}{R}\,e^{-t/(RC)}
(b) \displaystyle t=RC\ln\!\left(\frac{4}{3}\right)\approx0{,}0575\\ \mathrm{s}\\ (\approx57{,}5\\ \mathrm{ms})

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