Um capacitor de
é ligado em série com um resistor
a uma bateria de
.
(a) Escreva as equações que descrevem a quantidade de carga e a corrente elétrica no circuito em função do tempo durante o carregamento do capacitor.
(b) Determine o tempo necessário para que a carga atinja
do valor máximo.
(a) Escreva as equações que descrevem a quantidade de carga e a corrente elétrica no circuito em função do tempo durante o carregamento do capacitor.
(b) Determine o tempo necessário para que a carga atinja
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
- Dados:
-
. -
. -
.
-
- O enunciado pede:
- (a) Escrever as equações que descrevem a carga
e a corrente no circuito durante o carregamento do capacitor. - (b) Determinar o tempo necessário para que a carga atinja
do valor máximo.
- (a) Escrever as equações que descrevem a carga
Passo 2
Entender a física básica e as relações fundamentais que vamos usar (mini-aula).
- Um capacitor tem carga e tensão relacionadas por:
onde
é a carga no capacitor,
é a capacitância e
é a tensão no capacitor.
- A corrente elétrica é a taxa de variação da carga:
- No circuito em série com uma bateria, resistor e capacitor, aplica-se a Lei das Malhas (Kirchhoff): a soma das quedas de tensão ao longo da malha é igual à tensão da fonte. Se tomarmos a polaridade de modo que
fornece tensão que carrega o capacitor, a equação da malha é
onde
é a queda no resistor e
a do capacitor.
- A queda no resistor obedece à Lei de Ohm:
Substituindo
e
na lei das malhas, obtemos a equação diferencial que governa o carregamento.
Passo 3
Montar a equação diferencial do circuito e colocá-la em forma padrão.
- A equação de malha com as relações acima fica:
- Como
, substituímos e obtemos:
- Reorganizando para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Passo 4
Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem (método do fator integrante). Vou explicar passo a passo porque pode aparecer em prova.
- A equação é
- O fator integrante
é
- Multiplicando a equação por
obtemos que o lado esquerdo vira a derivada de :
- Integramos ambos os lados em relação a
:
- Calculando a integral:
- Assim:
- Dividindo por
:
- Aplicando a condição inicial: no instante
o capacitor está descarregado, logo . Substituindo:
- Portanto a solução física (com a constante ajustada) é
Passo 5
Obter a expressão para a corrente
a partir de
e interpretar resultados importantes (mais didática).
- A corrente é
. Derivando :
- Simplificando:
- Comentários físicos:
- Corrente inicial:
(no instante o capacitor age como curto-circuito). - Corrente em longo prazo:
(quando o capacitor está totalmente carregado não existe corrente contínua). - Carga máxima (valor em regime estacionário):
.
- Corrente inicial:
Passo 6
Introduzir e interpretar a constante de tempo
(dica de prova).
- Define-se a constante de tempo por
- Em termos de
as soluções ficam mais compactas:
- Interpretação rápida: após um tempo
a carga atinge cerca de (ou ) do valor final.
Passo 7
Resolver a parte (b): tempo para que
atinja
de
.
- O valor máximo é
. Queremos , isto é:
- Simplificando (podemos dividir por
porque são positivos):
- Isolando o exponencial:
- Tomando logaritmo natural:
- Observando que
, podemos escrever
Passo 8
Calcular numericamente usando os valores dados.
- Primeiro calcular
:
- Agora:
- Avaliando
, obtemos
- Arredondando de forma razoável:
Resposta
(a)
,
(b)
(b)