A que distância de um espelho côncavo deve ser colocado um objeto para que a imagem e o objeto sejam do mesmo tamanho?
◯ A distância focal.
◯ Meia distância focal.
◯ Duas vezes a distância focal.
◯ Menos da metade da distância focal.
◯ Mais de duas vezes a distância focal.

Passo 1

O enunciado pede: colocar um objeto em relação a um espelho côncavo de modo que a imagem e o objeto tenham o mesmo tamanho. As opções fornecidas são:
  • A distância focal.
  • Meia distância focal.
  • Duas vezes a distância focal.
  • Menos da metade da distância focal.
  • Mais de duas vezes a distância focal.
Informações relevantes dadas:
  • O espelho é côncavo.
  • Queremos que a imagem tenha o mesmo tamanho que o objeto (mesma altura).

Passo 2

Vamos reunir as fórmulas fundamentais que descrevem imagens em espelhos esféricos e explicar cada símbolo (aulas rápidas e claras):
  • Equação dos espelhos esféricos:
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f},
onde:
  • p é a distância do objeto ao vértice do espelho (distância do objeto),
  • q é a distância da imagem ao vértice do espelho (distância da imagem),
  • f é a distância focal do espelho.
  • Para espelho côncavo usamos a convenção usual: f>0. Distâncias reais (na frente do espelho) são positivas.
  • Fator de ampliação (magnificação):
m=\frac{h_{\text{imagem}}}{h_{\text{objeto}}}=-\frac{q}{p},
onde:
  • h_{\text{imagem}} e h_{\text{objeto}} são, respectivamente, as alturas da imagem e do objeto,
  • O sinal de m indica orientação: m<0 significa imagem invertida; |m| informa a razão de tamanhos.
Explicando de forma concreta: se |m|=1 então imagem e objeto têm o mesmo tamanho em magnitude; se além disso m<0 a imagem está invertida.

Passo 3

Condição de “mesmo tamanho”: queremos |m|=1.
  • Caso 1: m=1 (mesmo tamanho e mesma orientação — imagem direita). Pela fórmula m=-\dfrac{q}{p}, ter m=1 implica
-\frac{q}{p}=1 \quad\Rightarrow\quad q=-p.
Substituindo na equação dos espelhos:
\frac{1}{p}+\frac{1}{-p}=\frac{1}{f}\quad\Rightarrow\quad 0=\frac{1}{f},
o que é impossível (não existe f=\infty aqui). Conclusão: não é possível obter imagem direita e do mesmo tamanho com um espelho côncavo.

Passo 4

  • Caso 2: m=-1 (mesmo tamanho, porém invertida). Pela fórmula:
-\frac{q}{p}=-1 \quad\Rightarrow\quad q=p.
Agora substituímos q=p na equação dos espelhos:
\frac{1}{p}+\frac{1}{p}=\frac{1}{f}\quad\Rightarrow\quad \frac{2}{p}=\frac{1}{f}.
Resolvendo para p:
p=2f.
Interpretação física: quando o objeto está na posição p=2f (no centro de curvatura do espelho), a imagem forma-se também em q=2f, é real, invertida e tem exatamente o mesmo tamanho do objeto ( |m|=1).

Passo 5

Pequeno exemplo numérico para fixar: se f=10\\ \text{cm}, então colocar o objeto a p=2f=20\\ \text{cm} do espelho produz uma imagem em q=20\\ \text{cm} com m=-1 (mesmo tamanho, invertida). Isso confirma o resultado de forma concreta.

Resposta

Duas vezes a distância focal.

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