Considere um circuito RL série (\boldsymbol{R}=\mathbf{5 0} \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{L}=\mathbf{0 , 2 5 H}), alimentado por uma fonte de tensão alternada, \boldsymbol{V}=\mathbf{1 7 9 , 6 s e n}(\mathbf{3 1 4 , 1 6} \boldsymbol{t}+\mathbf{5 , 2 0}) \boldsymbol{V}.
Qual a magnitude da tensão fornecida pela fonte em \mathbf{t}=\mathbf{1 0 m s} ?

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RL com R=50\\ \Omega e L=0{,}25\\ \text{H} e fornece a tensão da fonte como
V(t)=179{,}6\sin\bigl(314{,}16\,t+5{,}20\bigr)\\ \text{V}.
A pergunta é: qual a magnitude da tensão fornecida pela fonte em t=10\\ \text{ms} ?
Informações relevantes listadas:
  • R=50\\ \Omega (dado do circuito).
  • L=0{,}25\\ \text{H} (dado do circuito).
  • V(t)=179{,}6\sin\bigl(314{,}16\,t+5{,}20\bigr)\\ \text{V} (forma da fonte).
  • t=10\\ \text{ms}=10\times 10^{-3}\\ \text{s} (instante onde queremos o valor).
    Observação: neste problema pedem a magnitude da tensão da fonte no instante dado, ou seja o valor instantâneo (ou seu módulo) de V(t) em t=10\\ \text{ms}.

Passo 2

Converto o tempo dado para segundos para usar diretamente na expressão:
t=10\\ \text{ms}=0{,}01\\ \text{s}.

Passo 3

Faço a substituição de t=0{,}01 na expressão da tensão:
V(0{,}01)=179{,}6\sin\bigl(314{,}16\cdot 0{,}01+5{,}20\bigr)\\ \text{V}.
Calculo o argumento do seno:
314{,}16\cdot 0{,}01=3{,}1416,
portanto o argumento total é
3{,}1416+5{,}20=8{,}3416\\ \text{rad}.

Passo 4

Usamos a periodicidade do seno para reduzir o ângulo: o seno tem período 2\pi, então
\sin(8{,}3416)=\sin\bigl(8{,}3416-2\pi\bigr).
Como 2\pi\approx 6{,}283185, temos
8{,}3416-2\pi=8{,}3416-6{,}283185=2{,}058415\\ \text{rad},
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\sin(8{,}3416)=\sin(2{,}058415).

Passo 5

Aplicamos a identidade trigonométrica \sin(\pi - x)=\sin x. Observamos que
2{,}058415=\pi-1{,}083178,
pois \pi\approx 3{,}141593 e 3{,}141593-1{,}083178=2{,}058415. Assim
\sin(2{,}058415)=\sin(1{,}083178).
Isto é útil porque 1{,}083178 é um ângulo menor que \pi/2 e dá um seno positivo.

Passo 6

Para estimar numericamente \sin(1{,}083178) podemos converter para graus ou usar aproximação direta. Convertendo:
1{,}083178\\ \text{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx 62{,}07^\circ.
Sabemos que \sin(62^\circ)\approx 0{,}88295. Fazendo uma pequena correção linear pelo aumento de 0{,}07^\circ (em rad \approx 0{,}00122) e usando \cos(62^\circ)\approx 0{,}4695 como derivada, o incremento em seno é aproximadamente 0{,}4695\times 0{,}00122\approx 0{,}00057. Assim
\sin(62{,}07^\circ)\approx 0{,}88295+0{,}00057\approx 0{,}88352.
Portanto
\sin(1{,}083178)\approx 0{,}88352.

Passo 7

Agora calculo a tensão instantânea:
V(0{,}01)=179{,}6\times 0{,}88352\\ \text{V}.
Faço a multiplicação com passos:
179{,}6\times 0{,}88=158{,}048
e
179{,}6\times 0{,}00352\approx 0{,}632
somando:
179{,}6\times 0{,}88352\approx 158{,}048+0{,}632=158{,}680\\ \text{V}.

Passo 8

A magnitude (valor absoluto) da tensão é o módulo de V(0{,}01). Como o valor calculado é positivo, a magnitude é o mesmo número. Arredondando para uma casa decimal (prática usual em medidas elétricas),
\text{magnitude}=158{,}7\\ \text{V}.

Resposta

158{,}7\\ \text{V}

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