Considere um circuito RL série ( R=50 \Omega L=0,25 H ), alimentado por uma fonte de tensão alternada, V=179,6 \operatorname{sen}\left(314,16 t+5,2^{\circ}\right) V.
Qual o valor eficaz (RMS) da tensão fornecida pela fonte?

Passo 1

O enunciado dá a expressão da tensão alternada fornecida pela fonte e pede o valor eficaz (RMS) dessa tensão. Informações relevantes fornecidas:
  • A tensão instantânea é V(t)=179,6\\ \operatorname{sen}\!\bigl(314,16\,t+5,2^\circ\bigr)\\ \text{V}.
  • Foram dados R=50\\ \Omega e L=0,25\\ \text{H}, mas o enunciado só pergunta o valor eficaz da tensão da fonte.
    A pergunta explícita é: qual o valor eficaz (RMS) da tensão fornecida pela fonte?

Passo 2

O que é “valor eficaz” (RMS) de uma tensão senoidal e como calculamos?
  • Definição prática: o valor eficaz de uma tensão é o valor contínuo que produziria a mesma potência média num resistor. Matematicamente, para uma função periódica v(t) de período T,
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \bigl(v(t)\bigr)^{2}\,dt}.
  • No caso de uma senóide de amplitude (valor de pico) V_m e fase qualquer, v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi), usamos essa definição para obter o RMS. Aqui a amplitude é V_m=179,6\\ \text{V}.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso da senóide. Substituímos v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi) dentro da integral:
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_m^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi)\,dt}.
Fatores constantes saem da integral:
V_{\text{rms}}=\sqrt{V_m^{2}\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t+\varphi)\,dt}.

Passo 4

Agora precisamos do valor médio de \sin^{2} ao longo de um período. É um resultado padrão (podemos provar integrando), que
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t+\varphi)\,dt=\frac{1}{2}.
Logo
V_{\text{rms}}=\sqrt{V_m^{2}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}.
Explicação rápida desse resultado: \sin^{2}x=\tfrac{1-\cos(2x)}{2}; ao integrar \cos(2x) sobre um período completo ela soma zero, ficando média 1/2.

Passo 5

Substituímos o valor de V_m dado no enunciado. Temos V_m=179,6\\ \text{V}, então
V_{\text{rms}}=\frac{179,6}{\sqrt{2}}\\ \text{V}.

Passo 6

Cálculo numérico. Usamos \sqrt{2}\approx1,41421356, logo
V_{\text{rms}}=\frac{179,6}{1,41421356}\approx127\\ \text{V}.
Esse valor já é um número arredondado típico (a fonte foi escolhida para dar exatamente 127\\ \text{V} como RMS).

Passo 7

Interpretação curta e ânimo: isso significa que, em termos de potência em um resistor, a fonte senoidal de pico 179,6\\ \text{V} se comporta como uma fonte contínua de 127\\ \text{V}. Você já entendeu a ideia — é só lembrar: RMS de senóide pura = pico dividido por \sqrt{2}. Força aí, você tá indo bem!

Resposta

127\\ \text{V}

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