Determinar \mathrm{Y}(\mathrm{s})\) considerando condições iniciais nulas. \(\ddot{y}+8 \dot{y}+25 y=10 u(t), u(t)= \begin{cases}1, & t>0 \\\\ 0, & t \leq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com entrada degrau unitário e pede a transformada de Laplace da saída Y(s)\), considerando condições iniciais nulas. Informações e pedidos claramente listados: - Equação diferencial: \[\ddot{y} + 8\dot{y} + 25 y = 10\,u(t).
  • Entrada (função degrau unitário):
u(t)=\begin{cases}1, & t>0,\\[4pt] 0, & t\le 0.\end{cases}
  • Condições iniciais: y(0)=0\] e \(\dot{y}(0)=0.
  • Pedido: determinar \;Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}\; (transformada de Laplace de y).]

Passo 2

Breve lembrança da transformada de Laplace e das regras que vamos usar (explicado passo a passo).
  • Definição (intuitiva): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Essa operação transforma equações diferenciais em equações algébricas em s.
  • Propriedade de linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformada do degrau unitário: \mathcal{L}\{u(t)\}=\dfrac{1}{s} (válido para \Re(s)>0).
  • Transformada das derivadas (fórmulas gerais, importantes para aplicar na equação):
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{\ddot{y}(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-\dot{y}(0).
Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. As expressões mostram que as condições iniciais aparecem como termos algébricos em s.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2 e as condições iniciais nulas ( y(0)=0, \dot{y}(0)=0).
  • Transformando \ddot{y}(t):
\mathcal{L}\{\ddot{y}\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-\dot{y}(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 0-0=s^{2}Y(s).
  • Transformando 8\dot{y}(t):
8\mathcal{L}\{\dot{y}\}=8\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)=8(sY(s)-0)=8sY(s).
  • Transformando 25y(t):
25\mathcal{L}\{y\}=25Y(s).
  • Transformando o lado direito 10u(t):
10\mathcal{L}\{u(t)\}=10\cdot\frac{1}{s}=\frac{10}{s}.

Passo 4

Juntar os termos transformados e montar a equação algébrica em Y(s).
s^{2}Y(s)+8sY(s)+25Y(s)=\frac{10}{s}.
Fatorando Y(s) do lado esquerdo:
\bigl(s^{2}+8s+25\bigr)\,Y(s)=\frac{10}{s}.

Passo 5

Isolar Y(s):
Y(s)=\frac{10}{s\bigl(s^{2}+8s+25\bigr)}.
Essa já é uma forma correta da transformada de Laplace da saída. Em prova, muitas vezes é útil também apresentar a decomposição em frações parciais (ajuda se depois precisar inverter a transformada para obter y(t)). Vou mostrar a decomposição passo a passo.

Passo 6

Fazer decomposição em frações parciais. Postulamos a forma
\frac{10}{s\bigl(s^{2}+8s+25\bigr)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+8s+25}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+8s+25)\) obtemos a identidade polinomial \[10 = A\bigl(s^{2}+8s+25\bigr) + (Bs+C)s.
Expandindo e agrupando termos em potências de s:
10 = (A+B)s^{2} + (8A + C) s + 25A.
Comparando coeficientes de s^{2}, s e termo constante, obtém-se o sistema:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 8A+C=0,\\[4pt] 25A=10. \end{cases}
Da última equação (25A=10] segue
A=\dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5}.
Então
B=-A=-\dfrac{2}{5}, \qquad C=-8A=-8\cdot\dfrac{2}{5}=-\dfrac{16}{5}.]

Passo 7

Escrever Y(s) na forma de frações parciais com os coeficientes encontrados:
Y(s)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{s}+\frac{-\tfrac{2}{5}s-\tfrac{16}{5}}{s^{2}+8s+25}.
Para preparar uma possível inversão de Laplace, podemos completar o quadrado no denominador:
s^{2}+8s+25=(s+4)^{2}+9.
Reescrevendo a parte racional do segundo termo em função de s+4:
-\tfrac{2}{5}s-\tfrac{16}{5}=-\tfrac{2}{5}(s+4)-\tfrac{8}{5}.
Logo uma forma útil é
Y(s)=\frac{2}{5}\frac{1}{s}-\frac{2}{5}\frac{s+4}{(s+4)^{2}+3^{2}-0} - \frac{8}{5}\frac{1}{(s+4)^{2}+3^{2}}.
Mais compactamente:
Y(s)=\frac{2}{5}\frac{1}{s}-\frac{2}{5}\frac{s+4}{(s+4)^{2}+9}-\frac{8}{5}\frac{1}{(s+4)^{2}+9}.

Resposta

Y(s)=\frac{10}{s\bigl(s^{2}+8s+25\bigr)}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{s}-\frac{2}{5}\cdot\frac{s+4}{(s+4)^{2}+9}-\frac{8}{5}\cdot\frac{1}{(s+4)^{2}+9}.

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