O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com entrada degrau unitário e pede a transformada de Laplace da saída Y(s)\), considerando condições iniciais nulas. Informações e pedidos claramente listados:
- Equação diferencial:
\[\ddot{y} + 8\dot{y} + 25 y = 10\,u(t).
Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. As expressões mostram que as condições iniciais aparecem como termos algébricos em s.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2 e as condições iniciais nulas (y(0)=0, \dot{y}(0)=0).
Juntar os termos transformados e montar a equação algébrica em Y(s).
s^{2}Y(s)+8sY(s)+25Y(s)=\frac{10}{s}.
Fatorando Y(s) do lado esquerdo:
\bigl(s^{2}+8s+25\bigr)\,Y(s)=\frac{10}{s}.
Passo 5
Isolar Y(s):
Y(s)=\frac{10}{s\bigl(s^{2}+8s+25\bigr)}.
Essa já é uma forma correta da transformada de Laplace da saída. Em prova, muitas vezes é útil também apresentar a decomposição em frações parciais (ajuda se depois precisar inverter a transformada para obter y(t)). Vou mostrar a decomposição passo a passo.
Passo 6
Fazer decomposição em frações parciais. Postulamos a forma