Considere um circuito série R C com uma tensão de entrada em rampa. A equação diferencial para a diferença de potencial no capacitor v_{c} nesse circuito é:
R C \frac{d v_{c}}{d t}+v_{c}=V t
com V t sendo uma tensão de entrada em rampa, sendo V o incremento da tensão por segundo. Quando t=0, o valor de v_{c} é 0 .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de um circuito série RC com entrada em rampa:
R\,C\,\frac{d v_{c}}{d t} + v_{c} = V\,t,
sendo V a inclinação da rampa e v_{c}(0)=0. O conteúdo aqui é a solução de uma EDO linear de 1º ordem não homogênea, e vamos precisar usar o fator integrante ou decompor em parte homogênea e particular.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO em forma padrão:
\frac{d v_{c}}{d t} + \frac{1}{RC}\,v_{c} = \frac{V}{RC}\,t.
A parte homogênea é
\frac{d v_{h}}{d t} + \frac{1}{RC}\,v_{h} = 0
e uma solução particular pode ser obtida por tentativa de polinômio em t.

Passo 3

Para a solução homogênea temos
v_{h}(t) = K\,e^{-t/(RC)}.
Para a solução particular suponha
v_{p}(t) = A\,t + B.
Então
\frac{d v_{p}}{d t} = A
e, substituindo na EDO,
R C \,A + (A\,t + B) = V\,t.
Comparando coeficientes de t e termos constantes:
A = V,\quad R C\,A + B = 0.

Passo 4

Como A = V, da equação R C\,A + B = 0 segue
B = -R C\,V.
Logo a solução particular é
v_{p}(t) = V\,t - R C\,V.
A solução geral é
v_{c}(t) = v_{p}(t) + v_{h}(t) = V\,t - R C\,V + K\,e^{-t/(RC)}.
Usando a condição inicial v_{c}(0)=0 obtemos
0 = 0 - R C\,V + K \quad\Longrightarrow\quad K = R C\,V.

Resposta

v_{c}(t) = V\,t - R C\,V + R C\,V\,e^{-t/(RC)} \;=\; V\Bigl(t - R C + R C\,e^{-t/(RC)}\Bigr).

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