Determinar as frações parciais de:
\frac{s+5}{s^{2}+3 s+2}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
\frac{s+5}{s^{2}+3s+2}.
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e depois encontrar constantes que tornem a soma de frações equivalente à expressão original.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para deixar claro a forma das frações simples:
s^{2}+3s+2 = (s+1)(s+2).

Passo 3

A ideia é escrever
\frac{s+5}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2},
onde A e B são constantes a determinar. Para isso, multiplicamos ambos os lados por (s+1)(s+2), obtendo
s+5 = A\,(s+2) + B\,(s+1).

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando termos em s\): \[A\,(s+2) + B\,(s+1) = (A+B)\,s + (2A + B).
Como isso deve ser igual a s+5, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 2A + B = 5. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda dá A=4\]. Em seguida \(B = 1 - A = 1 - 4 = -3.

Passo 5

Com A=4 e B=-3, a decomposição fica
\frac{s+5}{s^{2}+3s+2} = \frac{4}{s+1} - \frac{3}{s+2}.

Resposta

\frac{s+5}{s^{2}+3s+2} = \frac{4}{s+1} - \frac{3}{s+2}.

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