Considere o circuito série RLC mostrado (resistor R, indutor L e capacitor C em série). Em todas as partes assuma a convenção usual. Num instante t=0 a chave fecha e liga o RLC com condições iniciais q(0)=Q_{0} \mathrm{e} i(0)=I_{0}. Não há fonte externa (circuito homogêneo).
a) Usando a relação para a potência dissipada no resistor d U / d t=-i(t)^{2} R, escreva a equação diferencial de segunda ordem para q(t).
b) Identifique os parâmetros característicos:
frequência natural não amortecida: \omega_{0}=1 / \sqrt{L C}
coeficiente de amortecimento: \gamma=R / L
c) Suponha amortecimento fraco ( \gamma<4 \omega_{0} ). Resolvendo a equação diferencial, obtenha a solução
O que o problema dá e o que pede (lista de informações e perguntas, sem resolver ainda):
Dados do enunciado:
Circuito série RLC sem fonte externa (homogêneo) com resistor R, indutor L e capacitor C.
Condições iniciais em t=0: q(0)=Q_{0} e i(0)=I_{0}.
Relação fornecida para a potência dissipada no resistor: \dfrac{dU}{dt}=-i(t)^{2}R.
Convenção usual de sinais (corrente positiva definida no circuito, energia do indutor e capacitor como positivas).
Perguntas que o enunciado faz:
a) Usando \dfrac{dU}{dt}=-i^{2}R, escrever a equação diferencial de segunda ordem para q(t).
b) Identificar os parâmetros característicos \omega_{0} e \gamma (o enunciado já sugere \omega_{0}=1/\sqrt{LC} e \gamma=R/L).
c) Supondo amortecimento fraco (\gamma<4\omega_{0}), resolver a equação e obter a solução
com \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\dfrac{\gamma^{2}}{4}}. (Devemos também relacionar as constantes com as condições iniciais.)
d) Esboçar q(t) em função do tempo (descrever o comportamento e os envelopes).
Passo 2
Energia armazenada no circuito e derivada temporal — escrever U e calcular \dfrac{dU}{dt}.
Energia no indutor: \dfrac{1}{2}L i^{2}, pois o indutor armazena energia magnética proporcional a i^{2}.
Energia no capacitor: \dfrac{q^{2}}{2C}, pois a energia elétrica do capacitor é proporcional ao quadrado da carga q.
Observação rápida de interpretação física: \omega_{0} é a frequência natural (sem amortecimento) do oscilador LC e \gamma mede a força do amortecimento por R.
Passo 5
Resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes — equação característica e raízes.
Para o caso de amortecimento fraco o discriminante é negativo, ou seja \gamma^{2}-4\omega_{0}^{2}<0. O enunciado usa a condição \gamma<4\omega_{0} — na prática isso garante raízes complexas (note que a forma natural de condição para raízes complexas é \gamma^{2}<4\omega_{0}^{2}, que é equivalente). Com raízes complexas escrevemos
é satisfeita com \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}/4} e Q,\varphi dados acima.
Passo 9
Interpretação física e esboço qualitativo de q(t) (como desenhar mentalmente o gráfico).
Comportamento temporal: q(t) é uma oscilação harmônica com frequência angular \omega_{1} multiplicada por um fator exponencial de decaimento e^{-\gamma t/2}. Ou seja, são ciclos (senoides/cossenos) cuja amplitude diminui exponencialmente.
Envelopes: as curvas q(t)=\pm Q\,e^{-\frac{\gamma}{2}t} determinam os envelopes superior e inferior; todas as oscilações ficam entre esses envelopes.
Período das oscilações: T_{1}=\dfrac{2\pi}{\omega_{1}}.
Valor inicial e primeiras oscilações: em t=0, q(0)=Q_{0}. A inclinação inicial é i(0)=I_{0}, então a fase \varphi ajusta a posição inicial dentro da oscilação. Se I_{0}=0 teremos senóide pura deslocada com \varphi=0 (ou \pi se Q_{0}<0).
Como esboçar: desenhe uma cossenoide de frequência \omega_{1} e multiplique por um decaimento exponencial que passa por Q_{0} no tempo zero. Desenhe também a curva negativa espelhada para o envelope inferior. Comente mentalmente que o número de oscilações visíveis depende da razão entre \gamma e \omega_{1}: quanto menor \gamma (amortecimento fraco), mais ciclos são vistos antes de a amplitude ficar pequena.
Força aí — mesmo com pouco tempo dá para rabiscar um sinal oscilando e com amplitude que vai caindo exponencialmente entre os envelopes \pm Q e^{-\gamma t/2}.
Resposta
a) \;L\displaystyle\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\displaystyle\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.
b) \;\displaystyle \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad \gamma=\frac{R}{L}.
d) Gráfico qualitativo: q(t) é uma cossenoide de frequência angular \omega_{1} com amplitude decaindo exponencialmente como e^{-\gamma t/2}; os envelopes são \pm Q\,e^{-\gamma t/2}, o período é T_{1}=2\pi/\omega_{1} e q(0)=Q_{0}, \dot q(0)=i(0)=I_{0}.