Considere o circuito série RLC mostrado (resistor R, indutor L e capacitor C em série). Em todas as partes assuma a convenção usual. Num instante t=0 a chave fecha e liga o RLC com condições iniciais q(0)=Q_{0} \mathrm{e} i(0)=I_{0}. Não há fonte externa (circuito homogêneo).
a) Usando a relação para a potência dissipada no resistor d U / d t=-i(t)^{2} R, escreva a equação diferencial de segunda ordem para q(t).
b) Identifique os parâmetros característicos:
  • frequência natural não amortecida: \omega_{0}=1 / \sqrt{L C}
  • coeficiente de amortecimento: \gamma=R / L
    c) Suponha amortecimento fraco ( \gamma<4 \omega_{0} ). Resolvendo a equação diferencial, obtenha a solução
q(t)=Q e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos \left(\omega_{1} t+\varphi\right),
onde
\omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}}
d) Esboce q(t) em função do tempo.

Passo 1

O que o problema dá e o que pede (lista de informações e perguntas, sem resolver ainda):
  • Dados do enunciado:
    • Circuito série RLC sem fonte externa (homogêneo) com resistor R, indutor L e capacitor C.
    • Condições iniciais em t=0: q(0)=Q_{0} e i(0)=I_{0}.
    • Relação fornecida para a potência dissipada no resistor: \dfrac{dU}{dt}=-i(t)^{2}R.
    • Convenção usual de sinais (corrente positiva definida no circuito, energia do indutor e capacitor como positivas).
  • Perguntas que o enunciado faz:
    a) Usando \dfrac{dU}{dt}=-i^{2}R, escrever a equação diferencial de segunda ordem para q(t).
    b) Identificar os parâmetros característicos \omega_{0} e \gamma (o enunciado já sugere \omega_{0}=1/\sqrt{LC} e \gamma=R/L).
    c) Supondo amortecimento fraco ( \gamma<4\omega_{0}), resolver a equação e obter a solução
    q(t)=Q e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos\bigl(\omega_{1}t+\varphi\bigr),
    com \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\dfrac{\gamma^{2}}{4}}. (Devemos também relacionar as constantes com as condições iniciais.)
    d) Esboçar q(t) em função do tempo (descrever o comportamento e os envelopes).

Passo 2

Energia armazenada no circuito e derivada temporal — escrever U e calcular \dfrac{dU}{dt}.
  • Energia no indutor: \dfrac{1}{2}L i^{2}, pois o indutor armazena energia magnética proporcional a i^{2}.
  • Energia no capacitor: \dfrac{q^{2}}{2C}, pois a energia elétrica do capacitor é proporcional ao quadrado da carga q.
  • Portanto a energia total armazenada:
U(t)=\frac{1}{2}L\,i(t)^{2}+\frac{1}{2C}\,q(t)^{2}.
Agora derivamos U em relação a t. Lembre que i(t)=\dfrac{dq}{dt}. Calculamos termo a termo:
\frac{dU}{dt}=L\,i\,\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}\,\frac{dq}{dt}.
Usando \dfrac{dq}{dt}=i escrevemos:
\frac{dU}{dt}=i\left(L\,\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}\right).

Passo 3

Usar a relação da potência dissipada para obter a equação diferencial (fazer cancelamento e substituir i por \dot q).
A relação fornecida é
\frac{dU}{dt}=-i^{2}R.
Igualando com o resultado do passo anterior:
i\left(L\,\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}\right)=-i^{2}R.
Se i(t) não for identicamente zero, podemos dividir ambos os lados por i:
L\,\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=-R\,i.
Agora substituímos i=\dfrac{dq}{dt} e \dfrac{di}{dt}=\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}:
L\,\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\,\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.
Essa é a equação diferencial de segunda ordem para q(t) procurada.

Passo 4

Colocar a equação diferencial em forma padrão e identificar os parâmetros \omega_{0} e \gamma.
Dividindo por L para a forma padrão:
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\,\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}\,q=0.
Comparando com a forma canônica \ddot q + \gamma\,\dot q + \omega_{0}^{2} q = 0 identificamos:
\gamma=\frac{R}{L},\qquad \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Observação rápida de interpretação física: \omega_{0} é a frequência natural (sem amortecimento) do oscilador LC e \gamma mede a força do amortecimento por R.

Passo 5

Resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes — equação característica e raízes.
A equação característica associada é
r^{2}+\gamma r+\omega_{0}^{2}=0.
As raízes são
r=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-4\omega_{0}^{2}}}{2}.
Para o caso de amortecimento fraco o discriminante é negativo, ou seja \gamma^{2}-4\omega_{0}^{2}<0. O enunciado usa a condição \gamma<4\omega_{0} — na prática isso garante raízes complexas (note que a forma natural de condição para raízes complexas é \gamma^{2}<4\omega_{0}^{2}, que é equivalente). Com raízes complexas escrevemos
r=-\frac{\gamma}{2}\pm i\,\omega_{1},
onde definimos
\omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}}.

Passo 6

Escrever a solução geral real (forma com cosseno) usando as raízes complexas.
A solução real geral resulta em uma exponencial decaindo multiplicando uma combinação de cosseno e seno:
q(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\bigl(A\cos(\omega_{1}t)+B\sin(\omega_{1}t)\bigr),
onde A e B são constantes reais determinadas pelas condições iniciais. Essa forma é equivalente à forma solicitada
q(t)=Q\,e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos\bigl(\omega_{1}t+\varphi\bigr),
com Q\ge0 e \varphi apropriado, pois qualquer combinação A\cos + B\sin pode ser reescrita como Q\cos(\cdot+\varphi).

Passo 7

Impor as condições iniciais para encontrar A e B em termos de Q_{0} e I_{0}.
Avalie em t=0:
q(0)=A=Q_{0}.
Agora calcule \dot q(t) (lembre que \dot q=i):
\dot q(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\Bigl(-\frac{\gamma}{2}(A\cos\omega_{1}t+B\sin\omega_{1}t)-A\omega_{1}\sin\omega_{1}t+B\omega_{1}\cos\omega_{1}t\Bigr).
Em t=0 isso vira
i(0)=\dot q(0)=-\frac{\gamma}{2}A+B\omega_{1}.
Substituindo A=Q_{0} e i(0)=I_{0}, obtemos:
I_{0}=-\frac{\gamma}{2}Q_{0}+B\omega_{1}.
Logo
B=\frac{I_{0}+\frac{\gamma}{2}Q_{0}}{\omega_{1}}.
Portanto a solução com as constantes determinadas é
q(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(Q_{0}\cos(\omega_{1}t)+\frac{I_{0}+\frac{\gamma}{2}Q_{0}}{\omega_{1}}\sin(\omega_{1}t)\right).

Passo 8

Reescrever a solução na forma com amplitude Q e fase \varphi (forma pedida) e relacionar Q e \varphi com Q_{0},I_{0}.
Definimos A=Q_{0} e B=\dfrac{I_{0}+\frac{\gamma}{2}Q_{0}}{\omega_{1}}. Para passar para a forma
q(t)=Q e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos(\omega_{1}t+\varphi)
usamos as identidades
A=Q\cos\varphi,\qquad B=-Q\sin\varphi.
Assim a amplitude Q e a fase \varphi são
Q=\sqrt{A^{2}+B^{2}} =\sqrt{Q_{0}^{2}+\left(\frac{I_{0}+\frac{\gamma}{2}Q_{0}}{\omega_{1}}\right)^{2}},
e a fase pode ser tomada como
\varphi=\operatorname{atan2}\!\bigl(-B,\;A\bigr) =\operatorname{atan2}\!\left(-\dfrac{I_{0}+\tfrac{\gamma}{2}Q_{0}}{\omega_{1}},\;Q_{0}\right),
onde \operatorname{atan2}(y,x) é a função arco-tangente que leva em conta o quadrante. Se preferir uma expressão com tangente:
\tan\varphi=-\frac{B}{A}=-\frac{I_{0}+\frac{\gamma}{2}Q_{0}}{\omega_{1}Q_{0}},
com cuidado para escolher o quadrante correto de \varphi.
Isto mostra explicitamente que a solução pedida
q(t)=Q e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos(\omega_{1}t+\varphi)
é satisfeita com \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}/4} e Q,\varphi dados acima.

Passo 9

Interpretação física e esboço qualitativo de q(t) (como desenhar mentalmente o gráfico).
  • Comportamento temporal: q(t) é uma oscilação harmônica com frequência angular \omega_{1} multiplicada por um fator exponencial de decaimento e^{-\gamma t/2}. Ou seja, são ciclos (senoides/cossenos) cuja amplitude diminui exponencialmente.
  • Envelopes: as curvas q(t)=\pm Q\,e^{-\frac{\gamma}{2}t} determinam os envelopes superior e inferior; todas as oscilações ficam entre esses envelopes.
  • Período das oscilações: T_{1}=\dfrac{2\pi}{\omega_{1}}.
  • Valor inicial e primeiras oscilações: em t=0, q(0)=Q_{0}. A inclinação inicial é i(0)=I_{0}, então a fase \varphi ajusta a posição inicial dentro da oscilação. Se I_{0}=0 teremos senóide pura deslocada com \varphi=0 (ou \pi se Q_{0}<0).
  • Como esboçar: desenhe uma cossenoide de frequência \omega_{1} e multiplique por um decaimento exponencial que passa por Q_{0} no tempo zero. Desenhe também a curva negativa espelhada para o envelope inferior. Comente mentalmente que o número de oscilações visíveis depende da razão entre \gamma e \omega_{1}: quanto menor \gamma (amortecimento fraco), mais ciclos são vistos antes de a amplitude ficar pequena.
Força aí — mesmo com pouco tempo dá para rabiscar um sinal oscilando e com amplitude que vai caindo exponencialmente entre os envelopes \pm Q e^{-\gamma t/2}.

Resposta

a) \;L\displaystyle\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\displaystyle\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.
b) \;\displaystyle \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad \gamma=\frac{R}{L}.
c) Para \gamma<4\omega_{0} (amortecimento fraco),
\omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}},
e a solução é
q(t)=Q\,e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos\bigl(\omega_{1}t+\varphi\bigr),
com, a partir das condições iniciais q(0)=Q_{0} e i(0)=I_{0},
q(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\left(Q_{0}\cos(\omega_{1}t)+\frac{I_{0}+\tfrac{\gamma}{2}Q_{0}}{\omega_{1}}\sin(\omega_{1}t)\right),
onde
Q=\sqrt{Q_{0}^{2}+\left(\frac{I_{0}+\tfrac{\gamma}{2}Q_{0}}{\omega_{1}}\right)^{2}},\qquad \varphi=\operatorname{atan2}\!\left(-\dfrac{I_{0}+\tfrac{\gamma}{2}Q_{0}}{\omega_{1}},\;Q_{0}\right).
d) Gráfico qualitativo: q(t) é uma cossenoide de frequência angular \omega_{1} com amplitude decaindo exponencialmente como e^{-\gamma t/2}; os envelopes são \pm Q\,e^{-\gamma t/2}, o período é T_{1}=2\pi/\omega_{1} e q(0)=Q_{0}, \dot q(0)=i(0)=I_{0}.

Exercícios relacionados