Considere um circuito ideal formado apenas por um indutor
e um capacitor
(sem resistência) em série. Num instante
o capacitor contém carga
, e a corrente inicial é
.
a) Partindo da conservação de energia no circuito (energia elétrica no capacitor
e energia magnética no indutor
), obtenha a equação diferencial de segunda ordem para
. Mostre claramente os passos que levam a essa equação.
b) Resolva a equação diferencial e mostre que a solução para a carga é oscilatória, do tipo
, onde
é a frequência angular,
a contante de fase e
é a amplitude da carga.
c) Calcule
.
d) Mostre explicitamente que a energia total
é constante no tempo (ou seja, a energia é conservada).
e) Esboce
e as energias
e
como funções do tempo, mostrando a troca periódica de energia entre capacitor e indutor.
a) Partindo da conservação de energia no circuito (energia elétrica no capacitor
b) Resolva a equação diferencial e mostre que a solução para a carga é oscilatória, do tipo
c) Calcule
d) Mostre explicitamente que a energia total
e) Esboce
Passo 1
O que o enunciado dá (informações importantes):
- Circuito ideal série formado só por um indutor
e um capacitor (sem resistência). - Energia elétrica no capacitor:
- Energia magnética no indutor:
- Condições iniciais:
e .
O que o enunciado pede (perguntas):
a) A partir da conservação de energia, obter a equação diferencial de segunda ordem para . Mostrar claramente os passos.
b) Resolver essa equação e mostrar que a solução é oscilatória do tipo com
.
c) Calcular .
d) Mostrar explicitamente que a energia total é constante no tempo.
e) Esboçar (descrever) e as energias
como funções do tempo, mostrando a troca periódica de energia.
a) A partir da conservação de energia, obter a equação diferencial de segunda ordem para
b) Resolver essa equação e mostrar que a solução é oscilatória do tipo
c) Calcular
d) Mostrar explicitamente que a energia total
e) Esboçar (descrever)
Passo 2
Princípio usado e primeiro passo matemático: conservação de energia total no circuito ideal. Como não há perdas, a energia total é constante:
Diferencio ambos os lados em relação ao tempo
. Como a constante tem derivada zero, obtemos:
Agora calculo a derivada termo a termo: para o primeiro termo uso regra da cadeia (
) e para o segundo termo similar (
). Assim:
onde usei a notação
e
.
Passo 3
Relacionando corrente e carga: por definição de corrente elétrica (convecional) a corrente é a taxa de variação da carga no capacitor, ou seja
Substituo
na equação do passo anterior. Assim:
Posso fatorar
:
Essa igualdade vale para todo tempo. Se
para todo tempo teríamos circuito trivial sem dinâmica; o caso não-trivial satisfaz
Agora reconverto
em derivadas de
: como
, temos
. Substituindo:
Reorganizando em forma padrão:
Dividindo por
dá a equação diferencial de segunda ordem procurada:
Passo 4
Resolver a equação diferencial homogênea de coeficiente constante:
Escrevo-a como
onde defino a frequência angular natural
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples. O método padrão é procurar soluções do tipo exponencial
. Substituindo obtemos a equação característica
As raízes são
. Portanto a solução geral real é combinação linear de seno e cosseno:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Alternativamente, podemos escrever em forma de amplitude-fase:
onde
é a amplitude e
é a fase tal que
e
(é uma identidade trigonométrica padrão).
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro,
implica
Segundo, a corrente inicial é
. Lembrando que
, computo
:
Logo em
:
Portanto as constantes ficam
e
. A solução particular para as condições dadas é
Isso mostra explicitamente que a carga oscila harmonicamente com amplitude
, frequência angular
e fase nula.
Passo 6
Calcular a corrente
. Como
, derivo a solução encontrada:
Portanto a corrente também é oscilatória, com amplitude
, defasada em
em relação à carga (ou seja, corrente em quadratura com a carga).
Passo 7
Mostrar que a energia total
é constante no tempo de forma explícita.
Calculo primeiro as energias usando as expressões e as soluções:
Mas
, então
. Substituindo em
:
Agora somo
e
:
Como
, o total é uma constante igual a
. Assim a energia é conservada explicitamente.
(Comentário rápido alternativo: poderíamos também ter mostrado
usando as expressões e a equação de movimento, como fizemos no passo 2 — as duas formas são equivalentes.)
Passo 8
Esboço qualitativo das funções e da troca de energia (descrição com pontos-chave e fases). Primeiro algumas quantidades úteis:
Com as soluções
e
temos:
- Em
: (máxima), . Portanto máxima e . - Em
: , (máxima em módulo). Então e máxima. - Em
: , . máxima de novo (mesma que em ), . - Em
: , . máxima novamente. - Ciclo se repete periodicamente com período
.
Formas das curvas (descrição):
-
: cosseno de amplitude . Começa no máximo , cruza zero em , mínimo em , etc. -
: seno (com sinal negativo) de amplitude . Está defasado de em relação a (quando é máximo, ; quando , é máximo). -
: variação positiva e periódica com frequência (pois depende de ), oscila entre e . Picos em . -
: mesma forma (mesma frequência ), mas defasada de em relação a ; quando está no máximo, e vice-versa. -
: função constante (reta horizontal) igual a .
Esses pontos mostram claramente a troca periódica de energia entre capacitor (energia elétrica) e indutor (energia magnética): a energia acumula-se primeiramente no capacitor, depois é transferida ao indutor, e assim por diante, com conservação energética.
Resposta
(a)
ou equivalentemente
(b) Solução geral com
. Com as condições iniciais
obtém-se
(c)
(d) e
(constante).
(e) Esboço/descontinuação: é um cosseno de amplitude
;
é um seno (defasado de
) de amplitude
.
e
trocam energia harmonicamente (picos alternados em
), enquanto
é constante igual a
.
(b) Solução geral
(c)
(d)
(e) Esboço/descontinuação: