Considere um circuito ideal formado apenas por um indutor L e um capacitor C (sem resistência) em série. Num instante t=0 o capacitor contém carga q(0)=Q_{0}, e a corrente inicial é i(0)=0.
a) Partindo da conservação de energia no circuito (energia elétrica no capacitor U_{E}=\frac{q^{2}(t)}{2 C} e energia magnética no indutor U_{B}=\frac{L i^{2}(t)}{2} ), obtenha a equação diferencial de segunda ordem para q(t). Mostre claramente os passos que levam a essa equação.
b) Resolva a equação diferencial e mostre que a solução para a carga é oscilatória, do tipo
q(t)=Q \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right), onde \omega_{0}=1 / \sqrt{L C} é a frequência angular, \varphi a contante de fase e Q é a amplitude da carga.
c) Calcule i(t).
d) Mostre explicitamente que a energia total U=U_{E}+U_{B} é constante no tempo (ou seja, a energia é conservada).
e) Esboce q(t), i(t) e as energias U_{E}, U_{B} e U=U_{E}+U_{B} como funções do tempo, mostrando a troca periódica de energia entre capacitor e indutor.

Passo 1

O que o enunciado dá (informações importantes):
  • Circuito ideal série formado só por um indutor L e um capacitor C (sem resistência).
  • Energia elétrica no capacitor: U_{E}=\frac{q^{2}(t)}{2C}.
  • Energia magnética no indutor: U_{B}=\frac{L\,i^{2}(t)}{2}.
  • Condições iniciais: \;q(0)=Q_{0} e \;i(0)=0.
O que o enunciado pede (perguntas):
a) A partir da conservação de energia, obter a equação diferencial de segunda ordem para q(t). Mostrar claramente os passos.
b) Resolver essa equação e mostrar que a solução é oscilatória do tipo \;q(t)=Q\cos(\omega_{0}t+\varphi) com \omega_{0}=1/\sqrt{LC}.
c) Calcular i(t).
d) Mostrar explicitamente que a energia total U=U_{E}+U_{B} é constante no tempo.
e) Esboçar (descrever) q(t),\;i(t) e as energias U_{E},\;U_{B},\;U como funções do tempo, mostrando a troca periódica de energia.

Passo 2

Princípio usado e primeiro passo matemático: conservação de energia total no circuito ideal. Como não há perdas, a energia total é constante:
U(t)=U_{E}(t)+U_{B}(t)=\frac{q^{2}(t)}{2C}+\frac{L\,i^{2}(t)}{2}=\text{constante}.
Diferencio ambos os lados em relação ao tempo t. Como a constante tem derivada zero, obtemos:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{q^{2}}{2C}+\frac{L i^{2}}{2}\right)=0.
Agora calculo a derivada termo a termo: para o primeiro termo uso regra da cadeia ( d(q^{2})/dt=2q\,\dot q) e para o segundo termo similar ( d(i^{2})/dt=2i\,\dot i). Assim:
\frac{q}{C}\,\dot q + L\,i\,\dot i = 0,
onde usei a notação \dot q = \dfrac{dq}{dt} e \dot i = \dfrac{di}{dt}.

Passo 3

Relacionando corrente e carga: por definição de corrente elétrica (convecional) a corrente é a taxa de variação da carga no capacitor, ou seja
i(t)=\dot q(t)=\frac{dq}{dt}.
Substituo i=\dot q na equação do passo anterior. Assim:
\frac{q}{C}\,\dot q + L\,\dot q\,\dot i = 0.
Posso fatorar \dot q:
\dot q\left(\frac{q}{C} + L\,\dot i\right) = 0.
Essa igualdade vale para todo tempo. Se \dot q=0 para todo tempo teríamos circuito trivial sem dinâmica; o caso não-trivial satisfaz
\frac{q}{C} + L\,\dot i = 0.
Agora reconverto \dot i em derivadas de q: como i=\dot q, temos \dot i = \ddot q = \dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}. Substituindo:
\frac{q}{C} + L\,\ddot q = 0.
Reorganizando em forma padrão:
L\,\ddot q + \frac{1}{C}\,q = 0.
Dividindo por L dá a equação diferencial de segunda ordem procurada:
\ddot q + \frac{1}{LC}\,q = 0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial homogênea de coeficiente constante:
\ddot q + \frac{1}{LC}\,q = 0.
Escrevo-a como
\ddot q + \omega_{0}^{2}\,q = 0,
onde defino a frequência angular natural
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples. O método padrão é procurar soluções do tipo exponencial q(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+\omega_{0}^{2}=0.
As raízes são r=\pm i\omega_{0}. Portanto a solução geral real é combinação linear de seno e cosseno:
q(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Alternativamente, podemos escrever em forma de amplitude-fase:
q(t)=Q\cos(\omega_{0}t+\varphi),
onde Q=\sqrt{A^{2}+B^{2}} é a amplitude e \varphi é a fase tal que A=Q\cos\varphi e B=-Q\sin\varphi (é uma identidade trigonométrica padrão).

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar A e B.
Primeiro, q(0)=Q_{0} implica
q(0)=A\cos 0 + B\sin 0 = A = Q_{0}.
Segundo, a corrente inicial é i(0)=0. Lembrando que i=\dot q, computo \dot q:
\dot q(t) = -A\omega_{0}\sin(\omega_{0}t) + B\omega_{0}\cos(\omega_{0}t).
Logo em t=0:
i(0)=\dot q(0)=B\omega_{0}=0 \quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto as constantes ficam A=Q_{0} e B=0. A solução particular para as condições dadas é
q(t)=Q_{0}\cos(\omega_{0}t).
Isso mostra explicitamente que a carga oscila harmonicamente com amplitude Q_{0}, frequência angular \omega_{0}=1/\sqrt{LC} e fase nula.

Passo 6

Calcular a corrente i(t). Como i(t)=\dot q(t), derivo a solução encontrada:
i(t)=\dot q(t)= -Q_{0}\omega_{0}\sin(\omega_{0}t).
Portanto a corrente também é oscilatória, com amplitude Q_{0}\omega_{0}, defasada em -\pi/2 em relação à carga (ou seja, corrente em quadratura com a carga).

Passo 7

Mostrar que a energia total U=U_{E}+U_{B} é constante no tempo de forma explícita.
Calculo primeiro as energias usando as expressões e as soluções:
U_{E}(t)=\frac{q^{2}(t)}{2C}=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}\cos^{2}(\omega_{0}t).
U_{B}(t)=\frac{L\,i^{2}(t)}{2}=\frac{L}{2}\left(Q_{0}^{2}\omega_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t)\right).
Mas \omega_{0}^{2}=\dfrac{1}{LC}, então L\omega_{0}^{2}=\dfrac{1}{C}. Substituindo em U_{B}:
U_{B}(t)=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}\sin^{2}(\omega_{0}t).
Agora somo U_E e U_B:
U(t)=U_{E}+U_{B}=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}\big(\cos^{2}(\omega_{0}t)+\sin^{2}(\omega_{0}t)\big)=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}.
Como \cos^{2}+\sin^{2}=1, o total é uma constante igual a \dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}. Assim a energia é conservada explicitamente.
(Comentário rápido alternativo: poderíamos também ter mostrado \dfrac{dU}{dt}=0 usando as expressões e a equação de movimento, como fizemos no passo 2 — as duas formas são equivalentes.)

Passo 8

Esboço qualitativo das funções e da troca de energia (descrição com pontos-chave e fases). Primeiro algumas quantidades úteis:
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=2\pi\sqrt{LC}.
Com as soluções q(t)=Q_{0}\cos(\omega_{0}t) e i(t)=-Q_{0}\omega_{0}\sin(\omega_{0}t) temos:
  • Em t=0: \;q=Q_{0} (máxima), \;i=0. Portanto U_{E} máxima e U_{B}=0.
  • Em t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{2\omega_{0}}: \;q=0, \;i=-Q_{0}\omega_{0} (máxima em módulo). Então U_{E}=0 e U_{B} máxima.
  • Em t=\dfrac{T}{2}: \;q=-Q_{0}, \;i=0. U_{E} máxima de novo (mesma que em t=0), U_{B}=0.
  • Em t=\dfrac{3T}{4}: \;q=0, \;i=+Q_{0}\omega_{0}. U_{B} máxima novamente.
  • Ciclo se repete periodicamente com período T.
Formas das curvas (descrição):
  • q(t): cosseno de amplitude Q_{0}. Começa no máximo Q_{0}, cruza zero em t=T/4, mínimo em t=T/2, etc.
  • i(t): seno (com sinal negativo) de amplitude Q_{0}\omega_{0}. Está defasado de \pi/2 em relação a q(t) (quando q é máximo, i=0; quando q=0, |i| é máximo).
  • U_{E}(t): variação positiva e periódica com frequência 2\omega_{0} (pois depende de \cos^{2}), oscila entre 0 e Q_{0}^{2}/(2C). Picos em t=nT.
  • U_{B}(t): mesma forma (mesma frequência 2\omega_{0}), mas defasada de T/4 em relação a U_{E}; quando U_{E} está no máximo, U_{B}=0 e vice-versa.
  • U(t)=U_{E}+U_{B}: função constante (reta horizontal) igual a Q_{0}^{2}/(2C).
Esses pontos mostram claramente a troca periódica de energia entre capacitor (energia elétrica) e indutor (energia magnética): a energia acumula-se primeiramente no capacitor, depois é transferida ao indutor, e assim por diante, com conservação energética.

Resposta

(a) \;L\,\ddot q+\dfrac{1}{C}\,q=0 ou equivalentemente \;\ddot q+\dfrac{1}{LC}\,q=0.
(b) Solução geral \;q(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)=Q\cos(\omega_{0}t+\varphi) com \omega_{0}=1/\sqrt{LC}. Com as condições iniciais q(0)=Q_{0},\\ i(0)=0 obtém-se \;q(t)=Q_{0}\cos(\omega_{0}t).
(c) \;i(t)=\dot q(t)=-Q_{0}\omega_{0}\sin(\omega_{0}t).
(d) \;U_{E}(t)=\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}\cos^{2}(\omega_{0}t),\quad U_{B}(t)=\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}\sin^{2}(\omega_{0}t) e \;U(t)=U_{E}+U_{B}=\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C} (constante).
(e) Esboço/descontinuação: q(t) é um cosseno de amplitude Q_{0}; i(t) é um seno (defasado de \pi/2) de amplitude Q_{0}\omega_{0}. U_{E} e U_{B} trocam energia harmonicamente (picos alternados em t=0,\;T/4,\;T/2,\dots), enquanto U é constante igual a \dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}.

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