Considere um circuito série com fonte ideal de tensão constante \mathcal{E}, um resistor R e um indutor de indutância L. Num instante t=0 fecha-se a chave; antes disso i(0)=0.
a) Escreva a equação diferencial para a corrente i(t) aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas (lembre-se da tensão no indutor L=d i(t) / d t ).
b) Resolva a equação diferencial e obtenha i(t) para t \geq 0.
c) Esboce o gráfico i(t) versus t.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Perguntas do enunciado:
    1. (a) Escrever a equação diferencial para a corrente i(t) aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas no instante em que a chave é fechada em t=0.
    2. (b) Resolver essa equação diferencial e obter i(t) para t\ge 0.
    3. (c) Esboçar o gráfico de i(t) versus t.
  • Informações dadas:
    • Fonte ideal de tensão constante de valor \mathcal{E}.
    • Um resistor com resistência R.
    • Um indutor com indutância L.
    • O circuito é série: fonte, R e L em uma malha.
    • A chave é fechada em t=0.
    • Antes de fechar a chave a corrente é i(0)=0.

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial usando a Lei de Kirchhoff das malhas e a relação tensão–corrente do indutor:
  • Lembrete das leis que vamos usar (explicação didática):
    • A Lei de Kirchhoff das tensões (KVL) diz que a soma algébrica das tensões ao redor de uma malha fechada é zero. Em palavras: a tensão fornecida pela fonte é igual à soma das quedas de tensão nos elementos do circuito.
    • A queda de tensão no resistor segue a Lei de Ohm: a tensão no resistor vale R\,i(t), onde i(t) é a corrente instantânea.
    • A queda de tensão no indutor (convenção passiva) é dada por \,L\,\dfrac{di(t)}{dt}. Isso significa que um indutor reage a variações de corrente: quanto mais rápida a variação, maior a tensão nele.
    • Com essas convenções, ao aplicar KVL ao sentido da malha temos que a fonte menos as quedas no resistor e no indutor soma zero.
  • Escrevendo a equação:
    \mathcal{E} - R\,i(t) - L\,\frac{d i(t)}{d t} = 0.
    Podemos reorganizar para a forma padrão de uma equação diferencial linear de 1ª ordem:
    L\,\frac{d i(t)}{d t} + R\,i(t) = \mathcal{E}.

Passo 3

Resolver a equação diferencial: explicando o método passo a passo (homogênea + particular) e motivos:
  • Reescrevo a equação em forma padrão dividindo por L:
    \frac{d i}{d t} + \frac{R}{L}\,i = \frac{\mathcal{E}}{L}.
    Aqui a incógnita é i(t). Essa é uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. O método padrão é obter a solução geral como soma da solução homogênea ( i_h) e de uma solução particular ( i_p).
  • Solução da equação homogênea:
    • A homogênea é \frac{d i_h}{d t} + \frac{R}{L}\,i_h = 0.
    • Isso é separável ou reconhecível como decaimento exponencial. Resolvendo: \frac{d i_h}{i_h} = -\frac{R}{L}\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|i_h| = -\frac{R}{L}t + C_1.Exponenciando: i_h(t) = C\,e^{-\frac{R}{L}t},onde C é uma constante arbitrária.
  • Solução particular da equação completa:
    • Como o termo à direita é constante \dfrac{\mathcal{E}}{L}, procuramos uma solução particular constante i_p (porque a derivada de uma constante é zero). Suponha i_p = I_0 constante.
    • Substituindo na equação original: 0 + \frac{R}{L} I_0 = \frac{\mathcal{E}}{L} \quad\Rightarrow\quad I_0 = \frac{\mathcal{E}}{R}.
    • Portanto a solução particular é i_p(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}.
  • Solução geral:
    i(t) = i_h(t) + i_p(t) = C\,e^{-\frac{R}{L}t} + \frac{\mathcal{E}}{R}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial e interpretar a constante de integração; obter expressão final e propriedades físicas:
  • Condição inicial: i(0)=0. Substituo t=0 na solução geral:
    0 = i(0) = C\,e^{0} + \frac{\mathcal{E}}{R} \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{\mathcal{E}}{R}.
  • Logo a solução com a constante aplicada é
    i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right),\qquad t\ge 0.
  • Interpretando: define-se a constante de tempo
    \tau = \frac{L}{R}.
    Reescrevendo a solução:
    i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right).
    Isso diz que a corrente cresce exponencialmente de 0 (em t=0) para o valor em estado estacionário \dfrac{\mathcal{E}}{R} quando t\to\infty. A constante \tau é o tempo característico do circuito: após t=\tau a corrente alcança aproximadamente 1-e^{-1}\approx 0,632 (63,2%) do valor final.
  • Derivada inicial (senso físico): a inclinação inicial da corrente é
    \frac{d i}{d t}\Big|_{t=0} = \frac{\mathcal{E}}{L},
    porque no instante inicial a corrente é zero, então não há queda no resistor e toda a tensão \mathcal{E} aparece no indutor, produzindo \,L\,\dfrac{di}{dt}=\mathcal{E}.

Passo 5

Como esboçar o gráfico i(t) versus t (instruções práticas para o desenho):
  • Eixos: no eixo vertical coloque i(t) e no horizontal t\ge 0.
  • Pontos importantes:
    • Em t=0: i(0)=0.
    • Em t\to\infty: i(\infty)=\dfrac{\mathcal{E}}{R} (assíntota horizontal).
    • Em t=\tau=\dfrac{L}{R}: i(\tau)=\dfrac{\mathcal{E}}{R}\big(1-e^{-1}\big)\approx 0{,}632\,\dfrac{\mathcal{E}}{R}.
    • Inclinação inicial em t=0: \dfrac{d i}{dt}(0)=\dfrac{\mathcal{E}}{L}.
  • Forma: curva exponencial crescente, começando horizontal (valor 0) com inclinação \mathcal{E}/L, subindo rapidinho no começo e desacelerando, aproximando-se assintoticamente de \mathcal{E}/R. Não há oscilações (é um crescimento amortecido simples, sem capacitância).

Resposta

(a) L\,\frac{d i(t)}{d t}+R\,i(t)=\mathcal{E}.
(b) i(t)=\frac{\mathcal{E}}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right),\qquad t\ge 0.
(c) Gráfico: i(t) é uma curva exponencial crescente partindo de i(0)=0 e tendendo assintoticamente a i(\infty)=\dfrac{\mathcal{E}}{R}; a constante de tempo é \tau=\dfrac{L}{R} (em t=\tau atinge cerca de 63{,}2\% do valor final).

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