Considere um circuito série com fonte ideal de tensão constante \mathcal{E}, um resistor R e um indutor de indutância L. Num instante t=0 fecha-se a chave; antes disso i(0)=0.
a) Escreva a equação diferencial para a corrente i(t) aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas (lembre-se da tensão no indutor L=d i(t) / d t ).
b) Resolva a equação diferencial e obtenha i(t) para t \geq 0.
c) Esboce o gráfico i(t) versus t.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Perguntas do enunciado:
(a) Escrever a equação diferencial para a corrente i(t) aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas no instante em que a chave é fechada em t=0.
(b) Resolver essa equação diferencial e obter i(t) para t\ge 0.
(c) Esboçar o gráfico de i(t) versus t.
Informações dadas:
Fonte ideal de tensão constante de valor \mathcal{E}.
Um resistor com resistência R.
Um indutor com indutância L.
O circuito é série: fonte, R e L em uma malha.
A chave é fechada em t=0.
Antes de fechar a chave a corrente é i(0)=0.
Passo 2
Escrevendo a equação diferencial usando a Lei de Kirchhoff das malhas e a relação tensão–corrente do indutor:
Lembrete das leis que vamos usar (explicação didática):
A Lei de Kirchhoff das tensões (KVL) diz que a soma algébrica das tensões ao redor de uma malha fechada é zero. Em palavras: a tensão fornecida pela fonte é igual à soma das quedas de tensão nos elementos do circuito.
A queda de tensão no resistor segue a Lei de Ohm: a tensão no resistor vale R\,i(t), onde i(t) é a corrente instantânea.
A queda de tensão no indutor (convenção passiva) é dada por \,L\,\dfrac{di(t)}{dt}. Isso significa que um indutor reage a variações de corrente: quanto mais rápida a variação, maior a tensão nele.
Com essas convenções, ao aplicar KVL ao sentido da malha temos que a fonte menos as quedas no resistor e no indutor soma zero.
Aqui a incógnita é i(t). Essa é uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. O método padrão é obter a solução geral como soma da solução homogênea (i_h) e de uma solução particular (i_p).
Solução da equação homogênea:
A homogênea é\frac{d i_h}{d t} + \frac{R}{L}\,i_h = 0.
Isso é separável ou reconhecível como decaimento exponencial. Resolvendo:\frac{d i_h}{i_h} = -\frac{R}{L}\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|i_h| = -\frac{R}{L}t + C_1.Exponenciando:i_h(t) = C\,e^{-\frac{R}{L}t},onde C é uma constante arbitrária.
Solução particular da equação completa:
Como o termo à direita é constante \dfrac{\mathcal{E}}{L}, procuramos uma solução particular constante i_p (porque a derivada de uma constante é zero). Suponha i_p = I_0 constante.
Isso diz que a corrente cresce exponencialmente de 0 (em t=0) para o valor em estado estacionário \dfrac{\mathcal{E}}{R} quando t\to\infty. A constante \tau é o tempo característico do circuito: após t=\tau a corrente alcança aproximadamente 1-e^{-1}\approx 0,632 (63,2%) do valor final.
Derivada inicial (senso físico): a inclinação inicial da corrente é
porque no instante inicial a corrente é zero, então não há queda no resistor e toda a tensão \mathcal{E} aparece no indutor, produzindo \,L\,\dfrac{di}{dt}=\mathcal{E}.
Passo 5
Como esboçar o gráfico i(t) versus t (instruções práticas para o desenho):
Eixos: no eixo vertical coloque i(t) e no horizontal t\ge 0.
Pontos importantes:
Em t=0: i(0)=0.
Em t\to\infty: i(\infty)=\dfrac{\mathcal{E}}{R} (assíntota horizontal).
Em t=\tau=\dfrac{L}{R}: i(\tau)=\dfrac{\mathcal{E}}{R}\big(1-e^{-1}\big)\approx 0{,}632\,\dfrac{\mathcal{E}}{R}.
Inclinação inicial em t=0: \dfrac{d i}{dt}(0)=\dfrac{\mathcal{E}}{L}.
Forma: curva exponencial crescente, começando horizontal (valor 0) com inclinação \mathcal{E}/L, subindo rapidinho no começo e desacelerando, aproximando-se assintoticamente de \mathcal{E}/R. Não há oscilações (é um crescimento amortecido simples, sem capacitância).
(c) Gráfico: i(t) é uma curva exponencial crescente partindo de i(0)=0 e tendendo assintoticamente a i(\infty)=\dfrac{\mathcal{E}}{R}; a constante de tempo é \tau=\dfrac{L}{R} (em t=\tau atinge cerca de 63{,}2\% do valor final).