Considere a combinação de très capacitores, C_{1}, C_{2} e C_{3}. Deduza a relação que forneça a capacitãncia equivalente de um circuito elétrico que contenha a combinação em
paralela desses capacitores. Explique em detalhes.

Passo 1

O enunciado pede que se deduza a relação que fornece a capacitância equivalente de três capacitores C_{1}, C_{2} e C_{3} quando estão conectados em paralelo, e que essa dedução seja explicada em detalhe.
Informações relevantes (peguei estes dados da imagem enviada):
  • Existem três capacitores identificados como C_{1}, C_{2} e C_{3}.
  • Os três estão ligados entre os mesmos dois pontos (mesmos dois terminais), ou seja, estão em paralelo.
  • Há uma fonte que estabelece uma diferença de potencial V entre esses dois pontos.
Não vou resolver ainda; apenas deixei claro o que o problema dá e o que ele pede.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição básica de capacitância. A capacitância C de um capacitor é a razão entre a carga armazenada Q em uma de suas placas e a diferença de potencial V entre as placas:
C=\frac{Q}{V}.
Aqui:
  • C é a capacitância (unidade SI: farad, \mathrm{F}),
  • Q é a carga na placa positiva (unidade: coulomb, \mathrm{C}),
  • V é a diferença de potencial entre as placas (unidade: volt, \mathrm{V}).
Agora aplique isso a cada capacitor do circuito paralelo. Porque os três capacitores estão ligados aos mesmos dois nós, a diferença de potencial em cada capacitor é a mesma e igual a V (a tensão aplicada pela fonte). Esse é um ponto-chave: em paralelo a tensão é comum. Logo para cada capacitor vale:
Q_{1}=C_{1}V,\qquad Q_{2}=C_{2}V,\qquad Q_{3}=C_{3}V.
Aqui Q_{i} é a carga armazenada no capacitor C_{i}.
Em paralelo, as placas conectadas ao terminal positivo da fonte formam um nodo comum que acumula a soma das cargas positivas fornecidas, e as placas no terminal negativo acumulam a soma das cargas negativas correspondentes. Por isso a carga total armazenada por toda a combinação (na placa ligada ao polo positivo) é a soma das cargas individuais:
Q_{\text{total}}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}.
Definimos a capacitância equivalente C_{\mathrm{eq}} da combinação como o capacitor único que, sujeito à mesma tensão V, armazenaria a mesma carga total. Pela definição de capacitância:
Q_{\text{total}}=C_{\mathrm{eq}}\,V.
Substituindo as expressões de Q_{1},Q_{2},Q_{3} na soma:
C_{\mathrm{eq}}\,V = C_{1}V + C_{2}V + C_{3}V.
Como V é comum e, para uma tensão não nula, podemos dividir ambos os lados por V, obtém-se a relação procurada:
C_{\mathrm{eq}} = C_{1} + C_{2} + C_{3}.
(Isto também vale no sentido generalizado: se V=0 todas as cargas e capacitâncias multiplicadas por zero são nulas, a fórmula continua consistente. Na prática usa-se a dedução acima com V\neq0.)

Passo 3

Interpretação prática e pequenas verificações para você poder usar na prova sem erro:
  • Fórmula final: \displaystyle C_{\mathrm{eq}} = C_{1} + C_{2} + C_{3}.
  • Isso significa que, em paralelo, as capacitâncias simplesmente se somam: a combinação comporta-se como um único capacitor cuja área efetiva (ou capacidade total de armazenar carga a uma dada tensão) é a soma das capacidades individuais.
  • Verificação numérica rápida (exemplo): suponha C_{1}=2\,\mu\mathrm{F}, C_{2}=3\,\mu\mathrm{F}, C_{3}=5\,\mu\mathrm{F}. Então C_{\mathrm{eq}} = 2\,\mu\mathrm{F} + 3\,\mu\mathrm{F} + 5\,\mu\mathrm{F} = 10\,\mu\mathrm{F}.Se a fonte aplica V=10\,\mathrm{V}, as cargas seriam Q_{1}=2\cdot10=20\,\mu\mathrm{C},\quad Q_{2}=3\cdot10=30\,\mu\mathrm{C},\quad Q_{3}=5\cdot10=50\,\mu\mathrm{C},totalizando Q_{\text{total}}=100\,\mu\mathrm{C}, que é exatamente C_{\mathrm{eq}}V = 10\,\mu\mathrm{F}\cdot10\,\mathrm{V}=100\,\mu\mathrm{C}. Olha só que simpático — soma das capacitâncias = comportamento equivalente.

Passo 4

Dicas, armadilhas comuns e como aplicar rápido na prova:
  • Diferencie paralelo de série: em paralelo somam-se as capacitâncias; em série soma-se o inverso (fórmula diferente). Confundir isso é erro clássico.
  • Se tiver muitos capacitores em paralelo, faça uma soma direta: \displaystyle C_{\mathrm{eq}}=\sum_{i}C_{i}.
  • Unidades: mantenha todas as capacitâncias na mesma unidade antes de somar (por ex.: todas em \mu\mathrm{F} ou todas em \mathrm{F}).
  • Pense fisicamente: paralelo aumenta “área efetiva” (mais carga para mesma tensão); série aumenta “distância efetiva” (reduz capacidade).
  • Em problemas com outros elementos (resistores, fontes variáveis) identifique claramente quais estão em paralelo/serial e reduza passo a passo.
  • Fique tranquilo: a dedução é curta e baseada só em C=Q/V e na propriedade física de que tensões em paralelo são iguais e cargas se somam.

Passo 5

Resumo final rápido antes da resposta final (para fixar): mesma tensão em cada capacitor, cargas individuais são Q_{i}=C_{i}V, a carga total é soma das cargas, e por definição Q_{\text{total}}=C_{\mathrm{eq}}V. Dividindo por V vem a soma das capacitâncias.

Resposta

C_{\mathrm{eq}} = C_{1} + C_{2} + C_{3}.

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