Considere a combinação de très capacitores,
e
. Deduza a relação que forneça a capacitãncia equivalente de um circuito elétrico que contenha a combinação em série.
Passo 1
O enunciado pede: deduzir a relação que fornece a capacitância equivalente de um circuito que contenha três capacitores em série, dados
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Existem três capacitores com capacitâncias
, e . - O objetivo é obter a expressão da capacitância equivalente
quando esses três estão conectados em série.
Além disso, há uma imagem anexa (peguei estes detalhes da imagem):
- A imagem mostra uma fonte com tensão
, um interruptor e três capacitores ligados entre o mesmo nó superior e o nó inferior (ou seja, na figura eles aparecem em paralelo entre dois barramentos). - A imagem contém três símbolos de capacitor idênticos, etiquetados ou não com
.
Passo 2
Primeiro, revisar o conceito básico de capacitância e a fórmula fundamental que vamos usar.
Definição: a capacitância
de um capacitor é a razão entre a carga
armazenada e a diferença de potencial
entre suas placas. Em fórmula:
Explicando cada símbolo:
-
é a carga elétrica (em coulombs) acumulada nas placas. -
é a capacitância (em farads). -
é a diferença de potencial (em volts) entre as placas.
Essa relação é linear: dobrando
(mantendo
fixo) dobra-se
.
Passo 3
Entender o que significa “capacitores em série” e a consequência mais importante para as cargas.
Em uma conexão em série (colocando-os um depois do outro entre dois nós), a mesma corrente que atravessa o primeiro passa pelo segundo etc. Isso implica que, após carregar o arranjo em estado estacionário, a carga presente nas placas internas se rearranja de forma que o módulo da carga armazenada em cada capacitor seja o mesmo. Portanto, para capacitores em série vale:
onde
é o mesmo valor de carga (módulo) em cada capacitor. Isso acontece porque as placas adjacentes entre dois capacitores acumulam cargas opostas de mesma magnitude.
Passo 4
Expressar a tensão (diferença de potencial) em cada capacitor em função dessa carga comum.
Usando
para cada capacitor, a tensão em cada um é:
Aqui
é a diferença de potencial nos terminais do capacitor
.
Passo 5
A tensão total entre os terminais extremos da combinação em série é a soma das tensões individuais (potenciais se somam ao percorrer o circuito em série). Assim:
Substituindo as expressões do passo anterior:
Fatorando
:
Passo 6
Definir a capacitância equivalente
do conjunto como a capacitância única que, sujeita à mesma tensão total
, armazenaria a mesma carga
. Pela definição:
Isolando
obtemos:
Passo 7
Comparar as duas expressões para
obtidas nos passos 5 e 6. Temos:
Se
podemos dividir ambos os lados por
, resultando:
Essa é a relação pedida: a recíproca da capacitância equivalente de capacitores em série é a soma das recíprocas das capacitâncias individuais.
Passo 8
Algumas observações práticas e exemplos rápidos para fixar (método de prova):
- Caso tenha só dois capacitores em série, a fórmula reduz para
ou, em forma combinada conhecida,
- Limites úteis:
- Se um dos capacitores for muito grande (por exemplo
), então e a série efetivamente fica entre e . - Se um capacitor for muito pequeno (
), então e : um capacitor pequeno domina e reduz muito a capacitância total.
- Se um dos capacitores for muito grande (por exemplo
Força mental para a prova: memorize que em série somam-se as recíprocas; em paralelo somam-se as capacitâncias diretamente.