Considere a combinação de très capacitores, C_{1}, C_{2} e C_{3}. Deduza a relação que forneça a capacitãncia equivalente de um circuito elétrico que contenha a combinação em série.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir a relação que fornece a capacitância equivalente de um circuito que contenha três capacitores em série, dados C_{1}, C_{2} e C_{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Existem três capacitores com capacitâncias C_{1}, C_{2} e C_{3}.
  • O objetivo é obter a expressão da capacitância equivalente C_{\text{eq}} quando esses três estão conectados em série.
Além disso, há uma imagem anexa (peguei estes detalhes da imagem):
  • A imagem mostra uma fonte com tensão V, um interruptor e três capacitores ligados entre o mesmo nó superior e o nó inferior (ou seja, na figura eles aparecem em paralelo entre dois barramentos).
  • A imagem contém três símbolos de capacitor idênticos, etiquetados ou não com C.

Passo 2

Primeiro, revisar o conceito básico de capacitância e a fórmula fundamental que vamos usar.
Definição: a capacitância C de um capacitor é a razão entre a carga Q armazenada e a diferença de potencial V entre suas placas. Em fórmula:
Q = C\,V.
Explicando cada símbolo:
  • Q é a carga elétrica (em coulombs) acumulada nas placas.
  • C é a capacitância (em farads).
  • V é a diferença de potencial (em volts) entre as placas.
Essa relação é linear: dobrando V (mantendo C fixo) dobra-se Q.

Passo 3

Entender o que significa “capacitores em série” e a consequência mais importante para as cargas.
Em uma conexão em série (colocando-os um depois do outro entre dois nós), a mesma corrente que atravessa o primeiro passa pelo segundo etc. Isso implica que, após carregar o arranjo em estado estacionário, a carga presente nas placas internas se rearranja de forma que o módulo da carga armazenada em cada capacitor seja o mesmo. Portanto, para capacitores em série vale:
Q_{1}=Q_{2}=Q_{3}=Q,
onde Q é o mesmo valor de carga (módulo) em cada capacitor. Isso acontece porque as placas adjacentes entre dois capacitores acumulam cargas opostas de mesma magnitude.

Passo 4

Expressar a tensão (diferença de potencial) em cada capacitor em função dessa carga comum.
Usando Q=C\,V para cada capacitor, a tensão em cada um é:
V_{1}=\frac{Q}{C_{1}},\qquad V_{2}=\frac{Q}{C_{2}},\qquad V_{3}=\frac{Q}{C_{3}}.
Aqui V_{i} é a diferença de potencial nos terminais do capacitor i.

Passo 5

A tensão total entre os terminais extremos da combinação em série é a soma das tensões individuais (potenciais se somam ao percorrer o circuito em série). Assim:
V_{\text{total}}=V_{1}+V_{2}+V_{3}.
Substituindo as expressões do passo anterior:
V_{\text{total}}=\frac{Q}{C_{1}}+\frac{Q}{C_{2}}+\frac{Q}{C_{3}}.
Fatorando Q:
V_{\text{total}}=Q\!\left(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}\right).

Passo 6

Definir a capacitância equivalente C_{\text{eq}} do conjunto como a capacitância única que, sujeita à mesma tensão total V_{\text{total}}, armazenaria a mesma carga Q. Pela definição:
Q = C_{\text{eq}}\,V_{\text{total}}.
Isolando V_{\text{total}} obtemos:
V_{\text{total}}=\frac{Q}{C_{\text{eq}}}.

Passo 7

Comparar as duas expressões para V_{\text{total}} obtidas nos passos 5 e 6. Temos:
\frac{Q}{C_{\text{eq}}}=Q\!\left(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}\right).
Se Q\neq 0 podemos dividir ambos os lados por Q, resultando:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}.
Essa é a relação pedida: a recíproca da capacitância equivalente de capacitores em série é a soma das recíprocas das capacitâncias individuais.

Passo 8

Algumas observações práticas e exemplos rápidos para fixar (método de prova):
  • Caso tenha só dois capacitores em série, a fórmula reduz para
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}},
ou, em forma combinada conhecida,
C_{\text{eq}}=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}.
  • Limites úteis:
    • Se um dos capacitores for muito grande (por exemplo C_{3}\to\infty), então 1/C_{3}\to 0 e a série efetivamente fica entre C_{1} e C_{2}.
    • Se um capacitor for muito pequeno ( C_{2}\to 0), então 1/C_{2}\to\infty e C_{\text{eq}}\to 0: um capacitor pequeno domina e reduz muito a capacitância total.
Força mental para a prova: memorize que em série somam-se as recíprocas; em paralelo somam-se as capacitâncias diretamente.

Resposta

\dfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}}+\dfrac{1}{C_{3}}

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