Considere o comutador entre os operadores posição \widehat{x} e momento \widehat{p} dado por:
[\widehat{x}, \widehat{p}]=i \hbar
(a) Qual o significado físico desse resultado? justifique! (b) Qual significado físico do comutador entre dois operadores ser nulo? (c) Considere o operador hamiltoniano definido como:
\widehat{H}=\frac{\widehat{p}^{2}}{2 m}+\widehat{V}(x)
Calcule [\widehat{H}, \widehat{x} \widehat{p}]

Passo 1

O enunciado dá o comutador entre os operadores posição e momento
[\widehat{x},\widehat{p}] = i\hbar
e pede três coisas:
  1. (a) Qual é o significado físico desse resultado? Justifique.
  2. (b) Qual o significado físico de o comutador entre dois operadores ser nulo?
  3. (c) Para o hamiltoniano
\widehat{H}=\frac{\widehat{p}^{2}}{2m}+\widehat{V}(x),
calcular o comutador [\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}].
Informações relevantes fornecidas: expressão explícita do comutador [\widehat{x},\widehat{p}] e a forma do operador \widehat{H}. Não foi pedido usar representação específica, mas podemos usar a representação de posição (onde \widehat{p}=-i\hbar \frac{d}{dx}) quando for útil para calcular certos comutadores.

Passo 2

Significado físico de [\widehat{x},\widehat{p}]=i\hbar.
Primeiro, o que significa um comutador não nulo de forma geral? Se dois operadores \widehat{A} e \widehat{B} não comutam então a ordem de aplicação importa: \widehat{A}\widehat{B}\neq\widehat{B}\widehat{A}. No caso particular, \widehat{x} e \widehat{p} não comutam e a diferença é exatamente i\hbar, uma constante pura (multiplicativa).
Agora a consequência física central: incerteza entre posição e momento. Vou apresentar a desigualdade de incerteza de Robertson (a demonstração técnica usa a desigualdade de Cauchy–Schwarz, mas aqui eu uso o resultado e explico):
defina desvios \Delta x=\widehat{x}-\langle\widehat{x}\rangle e \Delta p=\widehat{p}-\langle\widehat{p}\rangle. A desigualdade geral diz
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{1}{2}\big|\langle[\Delta x,\Delta p]\rangle\big|.
Como deslocar por uma constante não altera o comutador, [\Delta x,\Delta p]=[\widehat{x},\widehat{p}]=i\hbar. Tomando valor esperado,
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{1}{2}|\langle i\hbar\rangle|=\frac{\hbar}{2}.
Isto significa que não existe estado em que tanto a posição quanto o momento tenham dispersão arbitrariamente pequena: se a posição for muito bem conhecida (pequeno \Delta x), o momento necessariamente fica incerto (grande \Delta p), e vice‑versa. Essa é a forma matemática do Princípio da Incerteza de Heisenberg para x e p.
Comentário físico extra (intuitivo): o fato de o comutador ser uma constante pura (não dependente de x nem de p) indica que essa incompatibilidade é fundamental — não é só um artefato de alguma função particular do sistema, é uma propriedade canônica da mecânica quântica. Também está ligado ao papel de \widehat{p} como gerador de deslocações em x: por exemplo, a relação [\widehat{x},\widehat{p}]=i\hbar leva à forma \widehat{p}=-i\hbar\frac{d}{dx} na representação de posição.

Passo 3

Significado físico de um comutador nulo: [\widehat{A},\widehat{B}]=0.
Quando dois operadores comutam, eles são chamados de compatíveis ou simultaneamente mensuráveis. Consequências práticas:
  • Existem estados que são autovetores simultâneos de \widehat{A} e \widehat{B} (ou, quando há degenerescência, podemos escolher uma base comum).
  • Não há uma restrição do tipo incerteza fundamental entre as grandezas: a desigualdade de Robertson pode dar um lado direito nulo, permitindo \Delta A e \Delta B arbitrariamente pequenos simultaneamente (na prática, desde que exista um estado comum com pequenas dispersões).
  • Em termos físicos, grandezas representadas por operadores que comutam podem ser medidas ao mesmo tempo sem perturbações fundamentais impostas pela própria estrutura quântica — o limite para perturbações passa a ser experimental e não imposto pelo formalismo.

Passo 4

Preparação para calcular [\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}]: identidades de comutador que usarei.
Propriedades úteis (todas válidas para operadores adequados):
  • Linearidade: [\alpha \widehat{A}+\beta \widehat{B},\widehat{C}]=\alpha[\widehat{A},\widehat{C}]+\beta[\widehat{B},\widehat{C}].
  • Regra do produto: [\widehat{A},\widehat{B}\widehat{C}]=[\widehat{A},\widehat{B}]\widehat{C}+\widehat{B}[\widehat{A},\widehat{C}].
  • Anti‑simetria: [\widehat{A},\widehat{B}]= -[\widehat{B},\widehat{A}].
  • Para função de \widehat{x}, [\widehat{f}(\widehat{x}),\widehat{x}]=0.
Vou decompor \widehat{H} e usar essas regras:
[\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}] = \left[\frac{\widehat{p}^2}{2m},\widehat{x}\widehat{p}\right] + \left[\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{x}\widehat{p}\right].
Vou calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Cálculo do primeiro termo \left[\frac{\widehat{p}^2}{2m},\widehat{x}\widehat{p}\right].
Use a linearidade e o fato que 1/(2m) é constante:
\left[\frac{\widehat{p}^2}{2m},\widehat{x}\widehat{p}\right]=\frac{1}{2m}\,[\widehat{p}^2,\widehat{x}\widehat{p}].
Para [\widehat{p}^2,\widehat{x}\widehat{p}] uso a identidade [\widehat{A}\widehat{B},\widehat{C}]=\widehat{A}[\widehat{B},\widehat{C}]+[\widehat{A},\widehat{C}]\widehat{B} com \widehat{A}=\widehat{p}, \widehat{B}=\widehat{p}, \widehat{C}=\widehat{x}\widehat{p}:
[\widehat{p}^2,\widehat{x}\widehat{p}]=\widehat{p}[\widehat{p},\widehat{x}\widehat{p}]+[\widehat{p},\widehat{x}\widehat{p}]\widehat{p}.
Então preciso de [\widehat{p},\widehat{x}\widehat{p}]. Aplico novamente a regra do produto:
[\widehat{p},\widehat{x}\widehat{p}]=[\widehat{p},\widehat{x}]\widehat{p}+\widehat{x}[\widehat{p},\widehat{p}].
Mas [\widehat{p},\widehat{p}]=0, e [\widehat{p},\widehat{x}]= -[\widehat{x},\widehat{p}]=-i\hbar. Portanto
[\widehat{p},\widehat{x}\widehat{p}]=(-i\hbar)\widehat{p} = -i\hbar\,\widehat{p}.
Voltando:
[\widehat{p}^2,\widehat{x}\widehat{p}]=\widehat{p}(-i\hbar\widehat{p}) + (-i\hbar\widehat{p})\widehat{p} = -i\hbar(\widehat{p}^2+\widehat{p}^2) = -2i\hbar\,\widehat{p}^2.
Dividindo por 2m:
\left[\frac{\widehat{p}^2}{2m},\widehat{x}\widehat{p}\right] = \frac{1}{2m}\left(-2i\hbar\,\widehat{p}^2\right) = -i\hbar\,\frac{\widehat{p}^2}{m}.

Passo 6

Cálculo do segundo termo \left[\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{x}\widehat{p}\right].
Aplicando a regra do produto:
\left[\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{x}\widehat{p}\right] = [\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{x}]\widehat{p} + \widehat{x}[\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{p}].
Como \widehat{V}(\widehat{x}) é função de \widehat{x}, ela comuta com \widehat{x}, então [\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{x}]=0. Só resta
\left[\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{x}\widehat{p}\right] = \widehat{x}[\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{p}].
Agora preciso de [\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{p}]. Posso obter isso usando a representação de posição \widehat{p}=-i\hbar \frac{d}{dx} ou usar a identidade conhecida [\widehat{f}(\widehat{x}),\widehat{p}]= i\hbar \widehat{f}'(\widehat{x}). Para ser explícito, mostro agindo sobre uma função de onda \psi(x):
\big(\widehat{V}\widehat{p}\big)\psi = \widehat{V}\big(-i\hbar\psi'\big) = -i\hbar V(x)\psi',
\big(\widehat{p}\widehat{V}\big)\psi = -i\hbar\frac{d}{dx}\big(V(x)\psi\big) = -i\hbar\big(V'(x)\psi+V(x)\psi'\big).
Subtraindo,
[\widehat{V},\widehat{p}]\psi = \big(\widehat{V}\widehat{p}-\widehat{p}\widehat{V}\big)\psi = i\hbar V'(x)\psi,
logo como operador
[\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{p}] = i\hbar\,\widehat{V}'(\widehat{x}).
Portanto
\left[\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{x}\widehat{p}\right] = \widehat{x}\,(i\hbar\,\widehat{V}'(\widehat{x})) = i\hbar\,\widehat{x}\,\widehat{V}'(\widehat{x}).
Note que \widehat{V}'(\widehat{x}) é a derivada da função potencial em relação a x, que é também função de \widehat{x} e comuta com \widehat{x}.

Passo 7

Combinação final e interpretação.
Somando os dois termos calculados:
[\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}] = -i\hbar\,\frac{\widehat{p}^2}{m} + i\hbar\,\widehat{x}\,\widehat{V}'(\widehat{x}).
Fatorando i\hbar:
[\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}] = i\hbar\!\left(\widehat{x}\,\widehat{V}'(\widehat{x}) - \frac{\widehat{p}^2}{m}\right).
Interpretação física rápida: a expectativa deste comutador aparece na derivação quântica do teorema do virial. Para um autovalor estacionário de energia (ou em média temporalmente estacionário), \langle[\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}]\rangle=0 e isso leva a
\left\langle \frac{\widehat{p}^2}{m}\right\rangle = \langle \widehat{x}\,\widehat{V}'(\widehat{x})\rangle,
que é uma forma do teorema do virial relacionando energia cinética média e força média para potenciais adequados.

Resposta

(a) Significa que posição e momento são incompatíveis: não podem ser medidos simultaneamente com precisão arbitrária; a relação leva diretamente ao princípio da incerteza \Delta x\,\Delta p\ge \hbar/2, sendo portanto uma característica fundamental da mecânica quântica.
(b) Se [\widehat{A},\widehat{B}]=0 então \widehat{A} e \widehat{B} são compatíveis — existem autovetores simultâneos e as grandezas podem ser medidas simultaneamente sem uma restrição fundamental de incerteza imposta pelo formalismo.
(c) [\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}] = i\hbar\!\left(\widehat{x}\,\widehat{V}'(\widehat{x}) - \dfrac{\widehat{p}^2}{m}\right).

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