Considere o comutador entre os operadores posição \widehat{x} e momento \widehat{p} dado por:
[\widehat{x}, \widehat{p}]=i \hbar
(a) Qual o significado físico desse resultado? justifique! (b) Qual significado físico do comutador entre dois operadores ser nulo? (c) Considere o operador hamiltoniano definido como:
calcular o comutador [\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}].
Informações relevantes fornecidas: expressão explícita do comutador [\widehat{x},\widehat{p}] e a forma do operador \widehat{H}. Não foi pedido usar representação específica, mas podemos usar a representação de posição (onde \widehat{p}=-i\hbar \frac{d}{dx}) quando for útil para calcular certos comutadores.
Passo 2
Significado físico de [\widehat{x},\widehat{p}]=i\hbar.
Primeiro, o que significa um comutador não nulo de forma geral? Se dois operadores \widehat{A} e \widehat{B} não comutam então a ordem de aplicação importa: \widehat{A}\widehat{B}\neq\widehat{B}\widehat{A}. No caso particular, \widehat{x} e \widehat{p} não comutam e a diferença é exatamente i\hbar, uma constante pura (multiplicativa).
Agora a consequência física central: incerteza entre posição e momento. Vou apresentar a desigualdade de incerteza de Robertson (a demonstração técnica usa a desigualdade de Cauchy–Schwarz, mas aqui eu uso o resultado e explico):
defina desvios \Delta x=\widehat{x}-\langle\widehat{x}\rangle e \Delta p=\widehat{p}-\langle\widehat{p}\rangle. A desigualdade geral diz
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{1}{2}\big|\langle[\Delta x,\Delta p]\rangle\big|.
Como deslocar por uma constante não altera o comutador, [\Delta x,\Delta p]=[\widehat{x},\widehat{p}]=i\hbar. Tomando valor esperado,
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{1}{2}|\langle i\hbar\rangle|=\frac{\hbar}{2}.
Isto significa que não existe estado em que tanto a posição quanto o momento tenham dispersão arbitrariamente pequena: se a posição for muito bem conhecida (pequeno \Delta x), o momento necessariamente fica incerto (grande \Delta p), e vice‑versa. Essa é a forma matemática do Princípio da Incerteza de Heisenberg para x e p.
Comentário físico extra (intuitivo): o fato de o comutador ser uma constante pura (não dependente de x nem de p) indica que essa incompatibilidade é fundamental — não é só um artefato de alguma função particular do sistema, é uma propriedade canônica da mecânica quântica. Também está ligado ao papel de \widehat{p} como gerador de deslocações em x: por exemplo, a relação [\widehat{x},\widehat{p}]=i\hbar leva à forma \widehat{p}=-i\hbar\frac{d}{dx} na representação de posição.
Passo 3
Significado físico de um comutador nulo: [\widehat{A},\widehat{B}]=0.
Quando dois operadores comutam, eles são chamados de compatíveis ou simultaneamente mensuráveis. Consequências práticas:
Existem estados que são autovetores simultâneos de \widehat{A} e \widehat{B} (ou, quando há degenerescência, podemos escolher uma base comum).
Não há uma restrição do tipo incerteza fundamental entre as grandezas: a desigualdade de Robertson pode dar um lado direito nulo, permitindo \Delta A e \Delta B arbitrariamente pequenos simultaneamente (na prática, desde que exista um estado comum com pequenas dispersões).
Em termos físicos, grandezas representadas por operadores que comutam podem ser medidas ao mesmo tempo sem perturbações fundamentais impostas pela própria estrutura quântica — o limite para perturbações passa a ser experimental e não imposto pelo formalismo.
Passo 4
Preparação para calcular [\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}]: identidades de comutador que usarei.
Propriedades úteis (todas válidas para operadores adequados):
Para [\widehat{p}^2,\widehat{x}\widehat{p}] uso a identidade [\widehat{A}\widehat{B},\widehat{C}]=\widehat{A}[\widehat{B},\widehat{C}]+[\widehat{A},\widehat{C}]\widehat{B} com \widehat{A}=\widehat{p}, \widehat{B}=\widehat{p}, \widehat{C}=\widehat{x}\widehat{p}:
Agora preciso de [\widehat{V}(\widehat{x}),\widehat{p}]. Posso obter isso usando a representação de posição \widehat{p}=-i\hbar \frac{d}{dx} ou usar a identidade conhecida [\widehat{f}(\widehat{x}),\widehat{p}]= i\hbar \widehat{f}'(\widehat{x}). Para ser explícito, mostro agindo sobre uma função de onda \psi(x):
Interpretação física rápida: a expectativa deste comutador aparece na derivação quântica do teorema do virial. Para um autovalor estacionário de energia (ou em média temporalmente estacionário), \langle[\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}]\rangle=0 e isso leva a
que é uma forma do teorema do virial relacionando energia cinética média e força média para potenciais adequados.
Resposta
(a) Significa que posição e momento são incompatíveis: não podem ser medidos simultaneamente com precisão arbitrária; a relação leva diretamente ao princípio da incerteza \Delta x\,\Delta p\ge \hbar/2, sendo portanto uma característica fundamental da mecânica quântica.
(b) Se [\widehat{A},\widehat{B}]=0 então \widehat{A} e \widehat{B} são compatíveis — existem autovetores simultâneos e as grandezas podem ser medidas simultaneamente sem uma restrição fundamental de incerteza imposta pelo formalismo.
(c) [\widehat{H},\widehat{x}\widehat{p}] = i\hbar\!\left(\widehat{x}\,\widehat{V}'(\widehat{x}) - \dfrac{\widehat{p}^2}{m}\right).