Seja \psi(x) a autofunção do estado fundamental de uma partícula dentro de uma caixa de comprimento L definida como:
\psi(x)=\sqrt{2 / a} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)
Calcule: (a) a incerteza na posição e (b) no momento. (c) Os resultados estão de acordo com o princípio da Incerteza de Heisenberg?

Passo 1

O enunciado dá a autofunção
\psi(x)=\sqrt{2/a}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
e pede: (a) a incerteza na posição, (b) a incerteza no momento e (c) se os resultados obedecem ao princípio da incerteza de Heisenberg. As informações relevantes que vou usar são:
  • o domínio espacial da partícula é 0\le x\le L (caixa infinita de comprimento L);
  • n é um inteiro positivo (número quântico);
  • \hbar e m são constantes físicas usuais (constante de Planck reduzida e massa);
  • há uma pequena incongruência no enunciado: aparece \sqrt{2/a} como normalização. Vou assumir que isso é um erro de digitação e que o fator correto é \sqrt{2/L} (normalização padrão para a caixa de comprimento L). Vou usar \psi(x)=\sqrt{2/L}\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big).
    Não vou resolver nada neste passo, apenas listei o que foi dado e o que vou assumir.

Passo 2

Cálculo de \langle x\rangle. Definição:
\langle x\rangle=\int_{0}^{L}\psi^*(x)\,x\,\psi(x)\,dx=\int_{0}^{L}x\,|\psi(x)|^2\,dx.
Substituindo \psi:
\langle x\rangle=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x \sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Usamos a identidade \sin^2\theta=\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2\theta)\big):
\langle x\rangle=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x\cdot\frac{1}{2}\big(1-\cos\!\big(\tfrac{2n\pi x}{L}\big)\big)\,dx =\frac{1}{L}\int_{0}^{L} x\,dx-\frac{1}{L}\int_{0}^{L} x\cos\!\big(\tfrac{2n\pi x}{L}\big)\,dx.
O primeiro integral é \int_{0}^{L} x\,dx=\tfrac{L^2}{2}. O segundo integral é zero porque \cos\!\big(\tfrac{2n\pi x}{L}\big) tem período que encaixa simetricamente no intervalo e a integral pesa com x mas avaliando por partes (ou observando que \sin(2n\pi)=0 e a primitiva fornece cancelamento) dá zero. Portanto
\langle x\rangle=\frac{1}{L}\cdot\frac{L^2}{2}=\frac{L}{2}.
Interpretação física: a média da posição é o centro da caixa, L/2, o que faz sentido pela simetria.

Passo 3

Cálculo de \langle x^2\rangle. Definição:
\langle x^2\rangle=\int_{0}^{L} x^2|\psi(x)|^2\,dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x^2\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Usamos novamente \sin^2\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2\theta)):
\langle x^2\rangle=\frac{2}{L}\left[\frac{1}{2}\int_{0}^{L} x^2\,dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{L} x^2\cos\!\big(\tfrac{2n\pi x}{L}\big)\,dx\right] =\frac{1}{L}\int_{0}^{L} x^2\,dx-\frac{1}{L}\int_{0}^{L} x^2\cos\!\big(\tfrac{2n\pi x}{L}\big)\,dx.
O primeiro integral é \int_{0}^{L} x^2\,dx=\tfrac{L^3}{3}. Para o segundo integral façamos o cálculo detalhado (defina a=\tfrac{2n\pi}{L}):
I=\int_{0}^{L} x^2\cos(ax)\,dx.
Integrando por partes: tome u=x^2, dv=\cos(ax)dx du=2x\,dx, v=\frac{\sin(ax)}{a}. Assim
I=\left.\frac{x^2\sin(ax)}{a}\right|_{0}^{L}-\frac{2}{a}\int_{0}^{L} x\sin(ax)\,dx.
Calcule J=\int_{0}^{L} x\sin(ax)\,dx por partes: u=x, dv=\sin(ax)dx du=dx, v=-\frac{\cos(ax)}{a}. Então
J=\left.-\frac{x\cos(ax)}{a}\right|_{0}^{L}+\frac{1}{a}\int_{0}^{L}\cos(ax)\,dx =-\frac{L\cos(aL)}{a}+\frac{\sin(aL)}{a^2}.
Voltando a I:
I=\frac{L^2\sin(aL)}{a}-\frac{2}{a}\left(-\frac{L\cos(aL)}{a}+\frac{\sin(aL)}{a^2}\right) =\frac{L^2\sin(aL)}{a}+\frac{2L\cos(aL)}{a^2}-\frac{2\sin(aL)}{a^3}.
Agora note que aL=2n\pi, logo \sin(aL)=0 e \cos(aL)=1. Assim
I=\frac{2L}{a^2}.
Substituindo a=\tfrac{2n\pi}{L}
I=\frac{2L}{(2n\pi/L)^2}=\frac{L^3}{2n^2\pi^2}.
Logo
\langle x^2\rangle=\frac{1}{L}\cdot\frac{L^3}{3}-\frac{1}{L}\cdot\frac{L^3}{2n^2\pi^2} = L^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right).

Passo 4

Cálculo da incerteza \Delta x. A definição é
(\Delta x)^2=\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2.
Substituindo os resultados:
(\Delta x)^2=L^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right)-\left(\frac{L}{2}\right)^2 = L^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2\pi^2}-\frac{1}{4}\right).
Simplificando \frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}:
(\Delta x)^2=L^2\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right).
Portanto
\Delta x = L\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}.
Observação: a expressão dentro da raiz é positiva para todo n\ge 1 (verificação numérica rápida: para n=1 o valor é \tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{2\pi^2}\approx 0{,}322).

Passo 5

Cálculo de \langle p\rangle. O operador momento em representação x é \hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}. Assim
\langle p\rangle=-i\hbar\int_{0}^{L}\psi^*(x)\frac{d\psi}{dx}\,dx.
Como \psi(x) é real (função seno multiplicada por real), temos \psi^*(x)=\psi(x) e o integrando é imaginário ímpar no sentido que dá zero após integração com as condições de contorno \psi(0)=\psi(L)=0. Formalmente, integrando por partes ou observando a simetria, conclui-se
\langle p\rangle=0.
Físicamente: o estado estacionário não tem momento médio — não há direção preferencial do movimento dentro da caixa.

Passo 6

Cálculo de \langle p^2\rangle. Usamos o operador \hat p^{2}=-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}. Para autofunções da caixa sabemos que elas são autofunções do hamiltoniano de partícula livre na caixa:
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E_n\psi,
com energia eigenvalor
E_n=\frac{\hbar^2 n^2\pi^2}{2mL^2}.
Multiplicando a equação por 2m e integrando com \psi^* obtemos
\langle p^2\rangle=\int_{0}^{L}\psi^*(x)\big(-\hbar^2\psi''(x)\big)\,dx = 2mE_n.
Substituindo E_n:
\langle p^2\rangle = 2m\cdot\frac{\hbar^2 n^2\pi^2}{2mL^2}=\frac{\hbar^2 n^2\pi^2}{L^2}.

Passo 7

Cálculo de \Delta p. Como \langle p\rangle=0,
(\Delta p)^2=\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2=\langle p^2\rangle=\frac{\hbar^2 n^2\pi^2}{L^2}.
Portanto
\Delta p=\frac{n\pi\hbar}{L}.

Passo 8

Produto das incertezas e verificação do princípio de Heisenberg. Multiplicando \Delta x por \Delta p:
\Delta x\,\Delta p = \left(L\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}\right)\left(\frac{n\pi\hbar}{L}\right) =\hbar\,\sqrt{\frac{n^2\pi^2}{12}-\frac{1}{2}}.
O princípio de incerteza de Heisenberg exige \Delta x\,\Delta p\ge \tfrac{\hbar}{2}. Para verificar, basta comparar os quadrados:
\left(\frac{\Delta x\,\Delta p}{\hbar}\right)^2=\frac{n^2\pi^2}{12}-\frac{1}{2}
e queremos \frac{n^2\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\ge\frac{1}{4}, i.e.
\frac{n^2\pi^2}{12}\ge\frac{3}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad n^2\ge\frac{9}{\pi^2}\approx 0{,}913.
Como n é inteiro positivo ( n\ge 1), essa desigualdade é satisfeita para todo n\ge 1. Assim \Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2: os resultados estão de acordo com o princípio de Heisenberg. (Exemplo numérico: para n=1, \Delta x\,\Delta p\approx 0{,}568\,\hbar > 0{,}5\,\hbar.)

Resposta

(a) \displaystyle \Delta x = L\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}}
(b) \displaystyle \Delta p = \frac{n\pi\hbar}{L}
(c) \displaystyle \Delta x\,\Delta p = \hbar\sqrt{\frac{n^{2}\pi^{2}}{12}-\frac{1}{2}}, que satisfaz \Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2} para todo n\ge 1; portanto está de acordo com o princípio de Heisenberg.

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