e pede: (a) a incerteza na posição, (b) a incerteza no momento e (c) se os resultados obedecem ao princípio da incerteza de Heisenberg. As informações relevantes que vou usar são:
o domínio espacial da partícula é 0\le x\le L (caixa infinita de comprimento L);
n é um inteiro positivo (número quântico);
\hbar e m são constantes físicas usuais (constante de Planck reduzida e massa);
há uma pequena incongruência no enunciado: aparece \sqrt{2/a} como normalização. Vou assumir que isso é um erro de digitação e que o fator correto é \sqrt{2/L} (normalização padrão para a caixa de comprimento L). Vou usar \psi(x)=\sqrt{2/L}\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big).
Não vou resolver nada neste passo, apenas listei o que foi dado e o que vou assumir.
O primeiro integral é \int_{0}^{L} x\,dx=\tfrac{L^2}{2}. O segundo integral é zero porque \cos\!\big(\tfrac{2n\pi x}{L}\big) tem período que encaixa simetricamente no intervalo e a integral pesa com x mas avaliando por partes (ou observando que \sin(2n\pi)=0 e a primitiva fornece cancelamento) dá zero. Portanto
\Delta x = L\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}.
Observação: a expressão dentro da raiz é positiva para todo n\ge 1 (verificação numérica rápida: para n=1 o valor é \tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{2\pi^2}\approx 0{,}322).
Passo 5
Cálculo de \langle p\rangle. O operador momento em representação x é \hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}. Assim
Como \psi(x) é real (função seno multiplicada por real), temos \psi^*(x)=\psi(x) e o integrando é imaginário ímpar no sentido que dá zero após integração com as condições de contorno \psi(0)=\psi(L)=0. Formalmente, integrando por partes ou observando a simetria, conclui-se
\langle p\rangle=0.
Físicamente: o estado estacionário não tem momento médio — não há direção preferencial do movimento dentro da caixa.
Passo 6
Cálculo de \langle p^2\rangle. Usamos o operador \hat p^{2}=-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}. Para autofunções da caixa sabemos que elas são autofunções do hamiltoniano de partícula livre na caixa:
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E_n\psi,
com energia eigenvalor
E_n=\frac{\hbar^2 n^2\pi^2}{2mL^2}.
Multiplicando a equação por 2m e integrando com \psi^* obtemos
Como n é inteiro positivo (n\ge 1), essa desigualdade é satisfeita para todo n\ge 1. Assim \Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2: os resultados estão de acordo com o princípio de Heisenberg. (Exemplo numérico: para n=1, \Delta x\,\Delta p\approx 0{,}568\,\hbar > 0{,}5\,\hbar.)
Resposta
(a) \displaystyle \Delta x = L\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^{2}\pi^{2}}}
(b) \displaystyle \Delta p = \frac{n\pi\hbar}{L}
(c) \displaystyle \Delta x\,\Delta p = \hbar\sqrt{\frac{n^{2}\pi^{2}}{12}-\frac{1}{2}}, que satisfaz \Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2} para todo n\ge 1; portanto está de acordo com o princípio de Heisenberg.